Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

11
Вычитая из первого равенства второе, получаем
0)(2)(
1
=
−
+
−
yxzxy
λ
или 0)2)((
1
=
−
−
λ
zxy .
Аналогично имеем два других уравнения
0)2)((
1
=
−
−
λ
yzx
и
0)2)((
1
=
−
−
λ
xzy . Из этих уравнений и ограничительных условий
видим, что две переменные равны некоторому числу
p, а третья равна
−2p (из 0=+
+
zyx ). Тогда из 1
222
=++ zyx имеем
6114
222
±=⇒=++ pppp .
Итак,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
6
2
,
6
1
,
6
1
ˆ
x
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
6
1
,
6
2
,
6
1
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
6
1
,
6
1
,
6
2
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
6
2
,
6
1
,
6
1
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
6
1
,
6
2
,
6
1
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
6
1
,
6
1
,
6
2
.
Для первых трёх
631−=xyz
, для следующих трёх
631=xyz . Так как xyzzyxf
=
),,( непрерывна и определена на
окружности, то по следствию из теоремы Вейерштрасса первые три значе-
ния дают
fabs min
, а вторые −
fabs max
.
631
min
−=S
,
631
max
=S
.
Пример 2. 1,),(
2121
21
=+→= xxextrexxf
xx
.
Функция Лагранжа
0)1()(
2110
21
=−++=Λ xxex
xx
λλ
.
Условия стационарности:
00
120
21
1
=+⇔=Λ
λλ
xx
x
ex ,
00
110
21
2
=+⇔=Λ
λλ
xx
x
ex ,
000
010
≠
⇒
=
⇒
=
λ
λ
λ
.
Пусть
1
0
=
λ
. Тогда 0
12
21
=+
λ
xx
ex , 0
11
21
=+
λ
xx
ex .
Отсюда
21
xx = , а из 1
21
=
+
xx , 21
21
=
=
xx .
Стационарная точка
(
)
21,21
ˆ
=
x ,
41
)
ˆ
( exf = . Так как при
∞→
1
x в силу 1
21
=
+ xx x
1
и x
2
должны быть разных знаков и 
      Вычитая из первого равенства второе, получаем
      ( y − x ) z + 2λ1 ( x − y ) = 0 или ( y − x )( z − 2λ1 ) = 0 .
      Аналогично имеем два других уравнения ( x − z )( y − 2λ1 ) = 0 и
( y − z )( x − 2λ1 ) = 0 . Из этих уравнений и ограничительных условий
видим, что две переменные равны некоторому числу p, а третья равна
−2p (из x + y + z = 0 ). Тогда из x 2 + y 2 + z 2 = 1 имеем
p2 + p2 + 4 p2 = 1 ⇒ p = ±1               6.
              ⎛ 1 1          2 ⎞ ⎛ 1        2 1 ⎞
      Итак, x̂ = ⎜   ,   ,−     ⎟, ⎜    ,−    ,   ⎟,
              ⎝ 6 6           6⎠ ⎝ 6         6 6⎠
⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 1                 1 2 ⎞ ⎛ 1 2              1 ⎞
⎜−    ,     ,   ⎟ , ⎜−    ,−     ,   ⎟ , ⎜−     ,   ,−   ⎟,
⎝   6 6 6⎠ ⎝           6       6 6⎠ ⎝         6 6       6⎠
⎛ 2     1     1 ⎞
⎜   ,−     ,−    ⎟.
⎝ 6      6     6⎠
     Для первых трёх xyz = − 1 3 6 , для следующих трёх
 xyz = 1 3 6 . Так как f ( x, y , z ) = xyz непрерывна и определена на
окружности, то по следствию из теоремы Вейерштрасса первые три значе-
ния дают   abs min f , а вторые − abs max f . S min = − 1 3 6 ,
S max = 1 3 6 .
      Пример 2. f ( x1 , x2 ) = e x1x2 → extr ,                 x1 + x2 = 1 .
      Функция Лагранжа Λ ( x ) =          λ0 e   x1 x2
                                                         + λ1 ( x1 + x 2 − 1) = 0 .
      Условия стационарности: Λ x1 = 0 ⇔                    λ0 x2 e x x + λ1 = 0 ,
                                                                    1 2



                                    Λ x2 = 0 ⇔ λ0 x1e x1x2 + λ1 = 0 ,
                                   λ0 = 0 ⇒ λ1 = 0 ⇒ λ0 ≠ 0 .
      Пусть   λ0 = 1 . Тогда   x2 e + λ1 = 0 , x1e x x + λ1 = 0 .
                                  x1 x2                            1 2



      Отсюда x1 = x 2 , а из x1 + x 2 = 1 , x1 = x 2 = 1 2 .
      Стационарная точка xˆ = (1 2 , 1 2 ) ,                f ( xˆ ) = e1 4 . Так как при
x1 → ∞ в силу x1 + x 2 = 1 x1 и x2 должны быть разных знаков и


                                           11

Страницы