Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

13
Пример 1. 1,),,(
2
3
2
2
2
1321321
≤++→= xxxextrxxxxxxf .
Функция Лагранжа
)1()(
2
3
2
2
2
113210
−+++=Λ xxxxxxx
λλ
.
Необходимые условия экстремума:
а) условия стационарности:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
02
02
02
31210
21320
11320
xxx
xxx
xxx
λλ
λλ
λλ
;
б) условие дополняющей нежёсткости:
0)1(
2
3
2
2
2
11
=−++ xxx
λ
;
в) условие неотрицательности:
0
1
≥
λ
.
000
321
)
10
===⇒>⇒= xxx
а
λλ
.
Если
10
2
3
2
2
2
1
)
1
=++⇒> xxx
б
λ
. Противоречие.
Пусть
1
0
=
λ
.
Тогда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+=+
=+⇒=+
=+=+
0202
0202
0202
2
313213121
2
213212131
2
113211132
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
λλ
λλ
λλ
. (1)
Пусть
0
1
=
λ
. Тогда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
0
0
0
21
31
32
xx
xx
xx
.
Это выполняется только при двух переменных, равных
0. Т.е. в этом
случае
),0,0(),0,,0(),0,0,(
ˆ
tttx
=
, где 1≤t .
fextrlocx ∉
ˆ
, так как, например, для (0, t, 0) имеем
0)(
1
>+ hxf при 0>t , ),0,(
ε
ε
=
h и 0)(
2
<
+
hxf при
0),,0,(
2
>
−
=
ε
ε
ε
h .
Пусть
0
1
>
λ
. Тогда из (1)
2
3
2
2
2
1
xxx == . Отсюда и из
1
2
3
2
2
2
1
=++ xxx следует 3,2,1,31
2
== ix
i
, т.е. 31±=
i
x .
Возможные значения
321
xxx есть
33
1
и
33
1
−
. 
         Пример 1. f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x 2 x3 → extr , x12 + x 22 + x32 ≤ 1 .
         Функция Лагранжа Λ ( x ) =     λ0 x1 x2 x3 + λ1 ( x12 + x22 + x32 − 1) .
         Необходимые условия экстремума:
                                    ⎧ λ0 x 2 x3 + 2λ1 x1 = 0
                                    ⎪
         а) условия стационарности: ⎨λ0 x 2 x3 + 2λ1 x 2 = 0 ;
                                    ⎪ λ x x + 2λ x = 0
                                    ⎩ 0 1 2         1 3

         б) условие дополняющей нежёсткости:          λ1 ( x12 + x22 + x32 − 1) = 0 ;
         в) условие неотрицательности:     λ1 ≥ 0 .
                                          а)
                     λ0 = 0 ⇒ λ1 > 0 ⇒ x1 = x2 = x3 = 0 .
                       б)
         Если   λ1 > 0 ⇒ x12 + x 22 + x32 = 1 . Противоречие.
         Пусть   λ0 = 1 .
               ⎧ x 2 x3 + 2λ1 x1 = 0           x1 x 2 x3 + 2λ1 x12 = 0
               ⎪
         Тогда ⎨ x1 x3 + 2λ1 x 2 = 0 ⇒         x1 x 2 x3 + 2λ1 x 22 = 0 .    (1)
               ⎪ x x + 2λ x = 0                x1 x 2 x3 + 2λ1 x32 = 0
               ⎩ 1 2        1 3

                              ⎧ x 2 x3 = 0
                              ⎪
         Пусть λ1 = 0 . Тогда ⎨ x1 x3 = 0 .
                              ⎪x x = 0
                              ⎩ 1 2
         Это выполняется только при двух переменных, равных 0. Т.е. в этом
случае   xˆ = (t ,0,0), (0, t ,0), (0,0, t ) , где t ≤ 1 .
       xˆ ∉ loc extr f , так как, например, для (0, t, 0) имеем
f ( x + h1 ) > 0 при t > 0 , h = (ε ,0, ε ) и f ( x + h2 ) < 0 при
h2 = (ε ,0,−ε ), ε > 0 .
         Пусть   λ1 > 0 . Тогда из (1) x12 = x22 = x32 . Отсюда и из
x12 + x22 + x32 = 1 следует xi2 = 1 3 , i = 1, 2, 3 , т.е. xi = ± 1           3.
                                           1              1
      Возможные значения x1 x 2 x3 есть          и −         .
                                          3 3           3 3
                                         13

Страницы