Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

15
Пусть
2
1
0
−=
λ
.Тогда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
0
0
11
3
11
3
1
xx
xx
n
λ
λ
K ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
0)(
0)(
1
2
1
2
11
λ
λ
nn
xx
xx
K .
Если
λ
1
> 0 и все x
i
≠ 0, то все nx
i
1
2
= , nx
i
1±= ,
чему соответствуют
2
n
точек
fabsx max
ˆ
∈
с координатами
(
)
nn 1,,1 ±± K , nnnS 11
2
max
=⋅= .
Если
m координат x
i
≠ 0, а n − m , равны 0, то имеется
mm
n
C 2⋅
критических точек, у которых m координат, равных m1± и n − m
равны
0. Пусть для определённости
mxx
m
1
22
1
=== K
, а
0
22
1
===
+ nm
xx K .
Если
x
1
изменить так, чтобы
ε
−= mx 1
2
1
, а x
n
изменить так, что-
бы
ε
=
2
n
x , то
()
2222
2
44
1
12211 mnmmxx
n
<+−=+−++
εεεε
при доста-
точно малом
ε
> 0.
Отсюда видно, что все
mm
n
C 2⋅ критических точек
flocx max
ˆ
∈
.
Пример 3.
∑
=
→=
n
i
i
extrxxf
1
2
)( ;
∑
=
≤
n
i
x
1
4
1
1.
Функция Лагранжа
)1()()(
44
11
22
10
−+++++=Λ
nn
xxxxx KK
λλ
.
Необходимые условия экстремума:
а) условие стационарности:
0420
3
10
=+⇔=Λ
iix
xx
i
λλ
,
ni ,1= ;
б) условие дополняющей нежёсткости:
0)1(
22
11
=−++
n
xx K
λ
;
в) условие неотрицательности:
λ
1
≥ 0.
Если
λ
0
= 0, то как в предыдущем примере
λ
1
= 0 и опять получаем
λ
0
≠
0
. 
                              ⎧ x13 − λ1 x1 = 0  ⎧ x1 ( x12 − λ1 ) = 0
                              ⎪                  ⎪
      Пусть λ0 = − 1 .Тогда ⎨         K         ⇔⎨          K          .
                     2
                              ⎪x − λ x = 0
                                  3              ⎪x ( x − λ ) = 0
                                                          2
                              ⎩ n      1 1       ⎩ n n         1

      Если λ1 > 0 и все xi ≠ 0, то все xi = 1 n , xi = ± 1 n ,
                                            2

                    n
чему соответствуют 2 точек xˆ ∈ abs max f с координатами
(± 1       n , K ,± 1    )
                        n , S max = n ⋅ 1 n 2 = 1 n .
           Если m координат xi ≠ 0, а n − m , равны 0, то имеется C n ⋅ 2
                                                                            m    m


критических точек, у которых m координат, равных ± 1                 m иn−m
равны 0. Пусть для определённости x = K = x                   =1 m,а
                                           2              2
                                           1              m

xm2 +1 = K = x n2 = 0 .
           Если x1 изменить так, чтобы x1 = 1 m − ε , а xn изменить так, что-
                                           2


бы x n = ε , то
       2


 x14 + x n4 + (1 m − ε ) + ε 2 = 1 m 2 − 2ε n + 2ε 2 < 1 m 2 при доста-
                          2


точно малом ε > 0.
       Отсюда видно, что все C n ⋅ 2 критических точек xˆ ∈ loc max f .
                                  m    m

                                  n                n
           Пример 3. f ( x ) =   ∑ xi2 → extr ;
                                 i =1
                                                  ∑x
                                                  i =1
                                                         4
                                                         1    ≤ 1.
           Функция Лагранжа
Λ ( x ) = λ0 ( x12 + K + x n2 ) + λ1 ( x14 + K + xn4 − 1) .
           Необходимые условия экстремума:
           а) условие стационарности: Λ xi = 0 ⇔ 2λ0 xi + 4λ1 xi = 0 ,
                                                                       3


i = 1, n ;
           б) условие дополняющей нежёсткости:         λ1 ( x12 + K + xn2 − 1) = 0 ;
           в) условие неотрицательности: λ1 ≥ 0.

Если λ0 = 0, то как в предыдущем примере λ1 = 0 и опять получаем λ0 ≠
0.


                                         15

Страницы