Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

14
Из следствия теоремы Вейерштрасса
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
1
,
3
1
,
3
1
ˆ
x
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
3
1
,
3
1
,
3
1
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
3
1
,
3
1
,
3
1
,
fabs max
3
1
,
3
1
,
3
1
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=
3
1
,
3
1
,
3
1
ˆ
x
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
1
,
3
1
,
3
1
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
1
,
3
1
,
3
1
,
fabs min
3
1
,
3
1
,
3
1
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
.
33
1
,
33
1
minmax
−== SS .
Пример 2.
∑
=
→=
n
i
i
extrxxf
1
4
)( ;
∑
=
≤
n
i
x
1
2
1
1.
Функция Лагранжа
)1()()(
22
11
44
10
−+++++=Λ
nn
xxxxx KK
λλ
.
Необходимые условия экстремума:
а) условие стационарности:
0240
1
3
0
=+⇔=Λ
iix
xx
i
λλ
,
ni ,1= ;
б) условие дополняющей нежёсткости:
0)1(
22
11
=−++
n
xx K
λ
;
в) условие неотрицательности:
0≥
i
λ
.
00
1
)
0
=⇒=
i
а
x
λλ
:
i
x
∀
1
22
1
≤++
n
xx K . Отсюда
λ
1
= 0, но
λ
0
и
λ
1
не могут быть равны 0 одновременно.
Пусть
2
1
0
=
λ
.Тогда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
0
0
1
3
11
3
1
nn
xx
xx
λ
λ
K
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
0)(
0)(
1
2
1
2
11
λ
λ
nn
xx
xx
K
⇔ x
i
= 0,
ni ,1= (так как
λ
1
≥ 0) fabsx min)0,,0(
ˆ
∈
=
K . S
min
= 0. 
       Из следствия теоремы Вейерштрасса

     ⎛ 1        1 1 ⎞ ⎛ 1       1      1 ⎞ ⎛ 1 1         1 ⎞
x̂ = ⎜      ,      ,  ⎟, ⎜   ,−     ,−   ⎟ , ⎜⎜ −  ,  ,−   ⎟⎟ ,
     ⎝ 3         3 3⎠ ⎝ 3        3      3⎠ ⎝      3 3     3⎠
⎛ 1             1 1 ⎞
⎜−       ,−       ,  ⎟ ∈ abs max f ;
⎝      3         3 3⎠
     ⎛ 1       1        1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1               1 1 ⎞
x̂ = ⎜ −   ,−      ,−     ⎟ , ⎜−   ,     ,    ⎟, ⎜   ,−   , ⎟,
     ⎝   3      3        3⎠ ⎝     3 3 3⎠ ⎝ 3             3 3⎠
⎛ 1 1         1 ⎞
⎜     ,  ,−      ⎟ ∈ abs min f .
⎝ 3 3          3⎠
                              1               1
                    S max =      , S min = −       .
                            3 3              3 3
                                n                  n
       Пример 2. f ( x ) =     ∑ xi4 → extr ;
                               i =1
                                                  ∑x
                                                  i =1
                                                         2
                                                         1   ≤ 1.
       Функция Лагранжа
Λ ( x ) = λ0 ( x14 + K + x n4 ) + λ1 ( x12 + K + xn2 − 1) .
       Необходимые условия экстремума:
       а) условие стационарности: Λ xi = 0 ⇔ 4λ0 xi + 2λ1 xi = 0 ,
                                                              3


i = 1, n ;
       б) условие дополняющей нежёсткости:             λ1 ( x12 + K + xn2 − 1) = 0 ;
       в) условие неотрицательности:       λi ≥ 0 .
                   а)
         λ0 = 0 ⇒ λ1 xi = 0 ∀xi : x12 + K + xn2 ≤ 1 . Отсюда λ1 = 0, но
λ0 и λ1 не могут быть равны 0 одновременно.
                       ⎧ x13 + λ1 x1 = 0     ⎧ x1 ( x12 + λ1 ) = 0
                       ⎪                     ⎪
Пусть λ0 = 1 .Тогда ⎨          K         ⇔⎨             K          ⇔ xi = 0,
               2
                       ⎪x3 + λ x = 0         ⎪x (x2 + λ ) = 0
                       ⎩ n      1 n          ⎩ n n         1

i = 1, n (так как λ1 ≥ 0) xˆ = (0, K ,0) ∈ abs min f . Smin = 0.
                                         14

Страницы