Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

16
Пусть
λ
0
= 2. Тогда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
0
0
3
11
3
11
xx
xx
n
i
λ
λ
K ⇒ x
i
=0
fabsx min)0,,0(
ˆ
∈
=
K .
Пусть
λ
0
= −2. Тогда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
0)1(
0)1(
2
1
2
111
nn
xx
xx
λ
λ
K .
Если
λ
1
> 0, то 1
44
1
=++
n
xx K . Если все x
i
≠ 0, то nx
i
1
4
= ,
4
1 nx
i
±=
,
nx
i
1
2
=
По следствию из теоремы Вейерштрасса
(
)
fabsnnx max1,,1
ˆ
44
∈±±= K .
nnnS ==
max
.
Если
m координат x
i
≠ 0, а n − m , равны 0, то имеется
mm
n
C 2⋅
критических точек, у которых m координат, равных
4
1 m± и n − m
равно
0. Пусть для определенности
mxx
m
1
44
1
=== K
, а
0
44
1
===
+ nm
xx K .
Если изменить
x
1
так, чтобы
ε
−= mx 1
4
1
, а x
n
изменить так, что-
бы
ε
=
4
n
x , то
=+−=+−=+ )1(11
22
1
εεεε
mmmmxx
n
= mommm 1))(21(1 >++−
εεε
при достаточно малом
0>
ε
, а при ,1
4
1
mx −= x
n
= 0, mxx
n
1
22
1
<+ . Поэтому
mm
n
C 2⋅
критических точек
flocx min
ˆ
∉ . 
                                   ⎧ xi + λ1 x13 = 0
                                   ⎪
               Пусть λ0 = 2. Тогда ⎨      K          ⇒ xi =0
                                   ⎪x + λ x = 03
                                   ⎩ n     1 1

               xˆ = (0, K ,0) ∈ abs min f .

                                    ⎧ x1 (1 − λ1 x12 ) = 0
                                    ⎪
               Пусть λ0 = −2. Тогда ⎨         K            .
                                    ⎪ x (1 − λ x ) = 0
                                                   2
                                    ⎩ n        1 n


               Если λ1 > 0, то x1 + K + xn = 1 . Если все xi ≠ 0, то xi = 1 n ,
                                        4        4                           4


xi = ± 1          4
                      n , xi2 = 1       n
               По следствию из теоремы Вейерштрасса
xˆ = ± 1   (      4
                      n , K ,± 1    4
                                            )
                                        n ∈ abs max f . S max = n    n= n.
               Если m координат xi ≠ 0, а n − m , равны 0, то имеется C n ⋅ 2
                                                                                 m   m


критических точек, у которых m координат, равных ± 1                   4
                                                                           m иn−m
равно 0. Пусть для определенности x = K = x                       =1 m,а
                                                      4       4
                                                      1       m

x   4
    m +1   =K= x = 0.    4
                         n

               Если изменить x1 так, чтобы x1 = 1 m − ε , а xn изменить так, что-
                                                      4


бы x n = ε , то
           4


x12 + x n2 = 1 m − ε + ε = 1 m ( 1 − mε + mε ) =
=1             m (1 − mε 2 + mε + o(ε )) > 1              m при достаточно малом
ε > 0,          а при x = − 1 m , xn = 0, x + x n < 1
                         4
                         1
                                                      2
                                                      1
                                                          2
                                                                  m . Поэтому C nm ⋅ 2 m
критических точек xˆ ∉ loc min f .




                                                     16

Страницы