Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 12 стр.

x2 тоже стремится к ∞ , поэтому e x1x2 → ∞ . В силу следствия из тео-
ремы Вейерштрасса xˆ ∈ abs max , S max = e               , S min = 0 .
                                                    14




     3. Конечномерные гладкие задачи с ограничениями
типа равенств и неравенств.
     Постановка задачи. Пусть f i : R n → R, i = 0, m , − функ-
ции,
обладающие определенной гладкостью. Гладкой конечномерной задачей с
ограничениями типа равенств и неравенств называется задача:
f 0 ( x ) → extr , f i ( x ) ≤ 0, i = 1, m ′,   f i ( x ) = 0, i = 1, m ′ + 1, n
          (P)
      Правило решения. Для решения задачи (P) нужно:
                                                          m
      1. Составить функцию Лагранжа Λ ( x ) =            ∑ λ f ( x) .
                                                         i =0
                                                                i   i

      2. Написать необходимые условия экстремума первого порядка:
                                                          ∂Λ ( xˆ )
      а) условие стационарности: Λ ′ ( x ) = 0 ⇔                    = 0, j = 1, n ;
                                                           ∂x j
      б) условие дополняющей нежёсткости:            λi f i ( xˆ ) = 0, i = 1, m ′ ;
      в) условие неотрицательности:        λi ≥ 0, i = 1, m ′ .
      3. Найти критические точки x̂ , удовлетворяющие условиям а) − в).
При этом рассматриваются случаи λ0 = 0, λ0 = 1 , (или любое положи-
тельное число),   λ0 = −1    (или любое отрицательное число).
      В случае а) x̂ может быть точкой как минимума так и максимума, в
случае б) x̂ может быть точкой минимума, в случае в) x̂ может быть точ-
кой максимума.
      При нахождении критических точек в условиях дополняющей нежё-
сткости λi f i ( xˆ ) = 0, надо рассматривать случаи λi = 0 и λi ≠ 0 .
      4. Исследовать на локальный и абсолютный экстремум критические
точки непосредственной проверкой и, если нет абсолютных экстремумов,
найти S min и S max и указать последовательность допустимых точек, на
которых абсолютные экстремумы достигаются.


                                         12