Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

9
Необходимые условия экстремума первого порядка.
Пусть
Pextrlocx ∈
ˆ
, функции mif
i
,0, = , непрерывно диффе-
ренцируемы в некоторой окрестности точки
x
ˆ
.
Тогда
0,),,,(
1
10
≠∈=∃
+
λλλλλ
m
m
RK
, такие что для функции
Лагранжа
∑
=
=Λ
m
i
ii
xfx
0
)()(
λ
выполняется условие стационарности:
nj
x
x
x
j
x
,1,0
)
ˆ
(
0)
ˆ
( ==
∂
Λ∂
⇔=Λ
.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности, называются
стационарными.
Необходимые условия экстремума второго порядка.
Пусть
Plocx min
ˆ
∈
, mixDf
i
,0),
ˆ
(
2
=∈ , размерность оболоч-
ки
{}
)
ˆ
(,),
ˆ
(
1
xfxf
m
′′
K равна m. Тогда
)1(),,,1(
0
1
1
=∈=∃
+
λλλλ
m
m
RK
, такие что для функции Лагранжа
∑
=
+=Λ
m
i
ii
xfxfx
1
0
)()()(
λ
выполняется условие стационарности
0)
ˆ
( =Λ x
x
и условие неотрицательной определённости матрицы вторых
производных:
0,)
ˆ
( ≥Λ
′′
hhx ,0),
ˆ
(: =
′
∀ hxfh
i
mi ,1= .
Достаточные условия экстремума второго порядка.
Пусть
,,0),
ˆ
(
2
mixDf
i
=∈
{
}
,)
ˆ
(,),
ˆ
(limdim
1
mxfxf
m
=
′
′
K
1
1
),,,1(
+
∈=∃
m
m
R
λλλ
K такие, что для функции Лагранжа
∑
=
+=Λ
m
k
ii
xfxfx
1
0
)()()(
λ
задачи (P) выполняется условие стационар-
ности:
0)
ˆ
( =Λ
′
x 0)
ˆ
()
ˆ
(
1
1
=
′
+
′
⇔
∑
=
m
i
ii
xfxf
λ
и условие положительной
определённости матрицы вторых производных:
0,)
ˆ
( >Λ
′′
hhx 0≠
∀
h
такого, что
,0),
ˆ
( =
′
hxf
i
mi ,1= . Тогда
Plocx min
ˆ
∈
. 
       Необходимые условия экстремума первого порядка.
       Пусть xˆ ∈ loc extr P , функции f i , i = 0, m , непрерывно диффе-
ренцируемы в некоторой окрестности точки x̂ .
       Тогда ∃λ = ( λ0 , λ1 , K , λm ) ∈ R                       , λ ≠ 0 , такие что для функции
                                                          m +1

                         m
Лагранжа Λ ( x ) =    ∑ λ f ( x ) выполняется условие стационарности:
                       i =0
                              i   i


                              ∂Λ ( xˆ )
        Λ x ( xˆ ) = 0 ⇔                = 0, j = 1, n .
                               ∂x j
      Точки, удовлетворяющие условию стационарности, называются
стационарными.
       Необходимые условия экстремума второго порядка.
       Пусть     xˆ ∈ loc min P , f i ∈ D 2 ( xˆ ), i = 0, m , размерность оболоч-
ки { f1′( xˆ ), K , f m′ ( xˆ )} равна m. Тогда
∃λ = (1, λ1 , K , λm ) ∈ R m +1 ( λ0 = 1) , такие что для функции Лагранжа
                     m
Λ ( x ) = f 0 ( x ) + ∑ λi f i ( x ) выполняется условие стационарности
                     i =1

Λ x ( xˆ ) = 0 и условие неотрицательной определённости матрицы вторых
производных: Λ ′′( xˆ )h, h ≥ 0 ∀h : f i ′( xˆ ), h = 0, i = 1, m .

       Достаточные условия экстремума второго порядка.
       Пусть f i ∈ D ( xˆ ), i = 0, m, dim lim{ f 1′( xˆ ), K , f m′ ( xˆ )} = m,
                         2


∃λ = (1, λ1 , K , λm ) ∈ R m +1 такие, что для функции Лагранжа
                     m
Λ ( x ) = f 0 ( x ) + ∑ λi f i ( x ) задачи (P) выполняется условие стационар-
                     k =1
                                        m
ности: Λ ′ ( xˆ ) = 0 ⇔ f 1′( xˆ ) +   ∑ λ f ′( xˆ ) = 0 и условие положительной
                                       i =1
                                              i       i


определённости матрицы вторых производных: Λ ′′( xˆ )h, h > 0 ∀h ≠ 0

такого, что    f i′( xˆ ), h = 0, i = 1, m . Тогда xˆ ∈ loc min P .



                                                  9

Страницы