Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 10 стр.

        Замечание. Основная теорема теории вещественных чи-
сел утверждает, что ограниченное сверху множество вещест-
венных чисел имеет точную верхнюю грань, ограниченное сни-
зу – точную нижнюю грань. Следует иметь в виду, что для мно-
жества, состоящего только из рациональных чисел, это неверно.
Грани ограниченного множества могут принадлежать или не
принадлежать множеству. Так, оба множества (0,1), [0,1] имеют
точные верхние грани 1 и нижние 0. В первом случае они не
входят во множество, во втором – входят.
        Между множествами часто устанавливаются соответст-
вия между их элементами по какому-нибудь признаку, правилу
либо описанию. Среди всех соответствий особенно выделяют
функциональное соответствие, которое называют еще и функ-
цией либо отображением.
        Рассмотрим два множества произвольной природы: Х и
Y.
        Определение 8
        Функцией (или отображением) f: XY называют прави-
ло, которое каждому элементу множества X сопоставляет эле-
мент множества Y.
        Замечание. Элемент у из Y, сопоставленный элементу
хX, обозначают через f (х). Если X1  X, то образом X1 при ото-
бражении f называют множество f(X1) = {f(x): xX1}  Y.
        Если Y1  Y, то прообразом Y1 при отображении f назы-
вают множество f 1(Y1) = {x: f(x) Y1}  X.
        Тождественное отображение iХ: XХ имеет вид i(x) = x
для любого xX.
        Определение 9
        Если supАА, то множество А имеет максимум, в этом
случае вместо supА используют обозначение max А.
        Аналогично определяют минимум множества min А.
        Определение 10
        Суперпозицией отображений f:XY, g: YZ, называют
отображение fg:XZ, действующее по правилу fg(х) = g(f(х)).
        Определение 11
        Отображение f 1:Y X называют обратным к f, если
                         ff 1 = iX, f 1f = iY.

                                  11