Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

103
Но
0);( ba
и
0);( ba
, тогда
1
, что неверно.
Получено противоречие, доказывающее, что сделанное предпо-
ложение неверно. Следовательно, отображение F имеет только
одну единственную неподвижную точку.
Пример
Доказать, что отображение
dttyxyF
x
0
)(
5
1
))((
про-
странства С[0;2] в себя является сжимающим. Найти непод-
вижную точку заданного отображения.
Решение.
А) Рассмотрим две произвольные функции у
1
(х) и у
2
(х).
пространства С[0;2]. Так как
)),();((
5
2
)()(max
5
1
)()(
5
1
))()((
5
1
)(
5
1
)(
5
1
))(())((
2121
0
0
21
0
21
0 0
2121
xyxytytyx
dttytydttyty
dttydttyxyFxyF
xt
xx
x x
то
)).();((
5
2
))(())((max
))(())((
2121
20
21
xyxytyFtyF
xyFxyF
t
Итак, найдена константа сжатия
5
2
, следовательно
заданное отображение в пространстве С[0;2] сжимающее.
Б) Неподвижная точка заданного отображения – реше-
ние уравнения:
)())(( xyxyF
, которое согласно заданному
условию можно переписать в виде:
. Реше-
ние полученного интегрального уравнения при помощи диффе-
       Но  (a; b)  0 и  (a; b)  0 , тогда   1 , что неверно.
Получено противоречие, доказывающее, что сделанное предпо-
ложение неверно. Следовательно, отображение F имеет только
одну единственную неподвижную точку.
       Пример
                                                               x
                                              1
       Доказать, что отображение F ( y ( x))   y (t )  dt про-
                                              50
странства С[0;2] в себя является сжимающим. Найти непод-
вижную точку заданного отображения.
       Решение.
       А) Рассмотрим две произвольные функции у1(х) и у2(х).
пространства С[0;2]. Так как
                                                 x             x
                                             1              1
            F ( y1 ( x))  F ( y 2 ( x)) 
                                             50 y1 (t )dt   y 2 (t )dt 
                                                            50
                   x                             x
                1                            1
                 
                5 0
                    ( y1 (t )  y 2 (t ))dt   y1 (t )  y 2 (t ) dt 
                                             50
                1                             2
                 x  max y1 (t )  y 2 (t )   ( y1 ( x); y 2 ( x)),
                5     0  t  x               5
       то
                F ( y1 ( x))  F ( y 2 ( x)) 
                                      2
                                         ( y1 ( x); y 2 ( x)).
                 max F ( y1 (t ))  F ( y 2 (t )) 
              0t  2                 5
                                            2
       Итак, найдена константа сжатия   , следовательно
                                            5
заданное отображение в пространстве С[0;2] сжимающее.

      Б) Неподвижная точка заданного отображения – реше-
ние уравнения: F ( y( x))  y( x) , которое согласно заданному
                                                           x
                                         1
условию можно переписать в виде: y ( x)   y (t )  dt . Реше-
                                         50
ние полученного интегрального уравнения при помощи диффе-

                                           103

Страницы