Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 100 стр.

       Продолжая процесс неограниченно дальше, получим по-
следовательность точек х n  n  N  пространства Е для кото-
рых справедливо неравенство:
                   ( F ( xn1 ); F ( xn ))   n   ( x0 ; x1 ) .
Неравенство можно доказать методом математической индук-
ции, исходя из условия, данного в определении сжимающего
отображения.
Выберем какое-нибудь натуральное число N и пусть m > n>N,
тогда из «неравенства многоугольника»:
         xn , xm )   ( xn , xn1 )   ( xn1 , xn2   ...   ( xm1 ; xm )
следует, что
          ( xn ; xm )   n   ( x0 ; x1 )   n 1   ( x0 ; x1 )  ... 
                                   n   ( x0 ; x1 )
          m1  ( x0 ; x1 ) 
                                       1
Откуда следует, что
                                              N   ( x0 ; x1 )
                              ( xn ; xm )                      .
                                                  1 
Очевидно, что  N  0 при N   , а значит
          0N ( )n, m  N  :  xn , xm    ) ,
то есть последовательность х n  фундаментальна.
       По условию теоремы пространство Е полное, а это зна-
чит, что последовательность х n  сходится к некоторой точке а
из Е. Покажем, что а – неподвижная точка отображения F :
поскольку а = lim x n , а отображение F непрерывно, то
                   n 

        F (a)  F (lim xn )  lim F ( xn )  lim xn1  a .
                       n           n                n
        Докажем единственность неподвижной точки. Использу-
ем доказательство «методом от противного». Пусть неподвиж-
ных точек две: а и b, причем a  b и F (a)  a; F (b)  b , то-
гда  (a; b)   ( F (a); F (b))     (a; b) ,то есть
                           (a; b)     (a; b) .

                                             101