Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

99
поэтому
BfAU
1
. Это показывает, что у любой точки
Aa
есть окрестность, принадлежащая
A
, т.е.
a
- внутренняя
точка для
A
. Поэтому
A
открыто в
A
.
Поскольку дополнение к замкнутому множеству откры-
то, а прообразы двух дополнительных друг другу множеств из
B
взаимно дополнительны в
A
, то из доказанного вытекает
справедливость и второго утверждения.
2.9. Неподвижные точки отображения метрического
пространства. Сжимающие отображения
Пусть задано некоторое отображение F метрического
пространства М в себя, то есть
MMF :
.
Определение 54
Точка а из М называется неподвижной точкой отобра-
жения F, если выполняется условие:
ааF )(
.
Определение 55
Отображение F метрического пространства М в себя на-
зывают сжимающим, если существует такое число
, что
0<
<1, и при любом выборе в этом пространстве двух точек
1
х
и
2
х
выполняется неравенство:
);())();((
2121
xxxFxF
.
);())();(((:);))(1;0(((
)(
212121
xxxFxFMxx
сжимающееF
Число
называется константой сжатия.
Теорема Банаха (22)
Если сжимающее отображение F задано в полном мет-
рическом пространстве Е, то в этом пространстве существу-
ет одна и только одна неподвижная точка отображения.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть х
0
Е
, тогда F(х
0
)
Е
так как по условию теоре-
мы, заданное отображение сжимающее на Е, а значит отобража-
ет Е в себя. Обозначим F(х
0
) = х
1.
Но тогда
F(F(х
0
)) = F(х
1
) = х
2
Е
, 
поэтому U  A  f 1 B  . Это показывает, что у любой точки
a  A есть окрестность, принадлежащая A , т.е. a - внутренняя
точка для A . Поэтому A открыто в A .
        Поскольку дополнение к замкнутому множеству откры-
то, а прообразы двух дополнительных друг другу множеств из
B взаимно дополнительны в A , то из доказанного вытекает
справедливость и второго утверждения.


      2.9. Неподвижные точки отображения метрического
пространства. Сжимающие отображения

       Пусть задано некоторое отображение F метрического
пространства М в себя, то есть F : M  M .
       Определение 54
       Точка а из М называется неподвижной точкой отобра-
жения F, если выполняется условие: F (а)  а .
       Определение 55
       Отображение F метрического пространства М в себя на-
зывают сжимающим, если существует такое число  , что
0<  <1, и при любом выборе в этом пространстве двух точек х1
и х 2 выполняется неравенство:  ( F ( x1 ); F ( x2 ))     ( x1 ; x2 ) .
          ( F  сжимающее )                                                              
                                                                                         
            ((  (0;1))(x1 ; x2  M ) : (  ( F ( x1 ); F ( x2 ))     ( x1 ; x2 ) 
Число  называется константой сжатия.
       Теорема Банаха (22)
       Если сжимающее отображение F задано в полном мет-
рическом пространстве Е, то в этом пространстве существу-
ет одна и только одна неподвижная точка отображения.
       Доказательство
       Пусть х0  Е , тогда F(х0)  Е так как по условию теоре-
мы, заданное отображение сжимающее на Е, а значит отобража-
ет Е в себя. Обозначим F(х0) = х1. Но тогда
                      F(F(х0)) = F(х1) = х2  Е ,

                                           99

Страницы