Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 107 стр.

       Доказательство
       Пусть последовательность точек x n  метрического про-
странства М сходится к точке х  М. По определению сходимо-
сти последовательности (для n,m  N) имеем:
         lim x
         n
                  n      
                       x    0N ( )n  N  :  ( xn , x)   
                                                                          2



         lim x        x     0N ( )m  N  :  ( x , x)  
                                      ;
                                                                              
               m                                                 m            2
         n
                                    ,
и так как в метрическом пространстве М справедлива аксиома
треугольника:  xn , x    xm , x    xn , xm  , то
         0N ( )n, m  N  :  xn , xm    ( xm , x)   ( xn , x  
        2  2   .
Откуда следует, что последовательность x n  фундаментальная
(по определению фундаментальной последовательности).
       Теорема 24
       Если последовательность x n  принадлежит подпро-
странству Е пространства М, то из ее фундаментальности в
одном из них следует ее фундаментальность в другом.
       Доказательство
       Если для  >0 найден требуемый номер N для метрики
одного из пространств: Е; М., так что n, m  N выполняется
неравенство  ( xn , xm )   , то он подходит и для метрики дру-
гого, поскольку согласно условию Е  М (то есть
  Е ( xn , xm )   М ( xn , xm ) ).
           Определение 57
           Метрическое пространство называется полным, если
всякая фундаментальная последовательность его точек сходится
к точке из этого же пространства.
           Определение 58
           Полное линейное нормированное пространство называ-
ется банаховым пространством.
           Теорема 25


                                         108