Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 112 стр.

              РАЗДЕЛ 3. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА


3.1. Мера Лебега для линейных множеств

         Понятие меры точечного множества - суть обобщающее
понятие длины промежутка, площади прямоугольника, объема
параллелепипеда, приращения неубывающей функции на про-
межутке, интеграла от неотрицательной функции, взятого по
некоторой линейной, плоской или пространственной области и
так далее.
         Ограничимся знакомством с понятием меры на прямой,
отправляясь от понятия длины промежутка числовой прямой.
Ниже описанные рассуждения повторяются в абстрактной тео-
рии без существенных изменений.
         Итак, пусть G - непустое ограниченное открытое мно-
жество, F – непустое ограниченное замкнутое множество. Через
 обозначим интервал (а;b). Через  k=(аk,;bk) обозначим со-
ставляющие интервалы множества G.
         Определение 59
         Если интервал  содержится в G, но его концы этому
множеству не принадлежат, то этот интервал называют состав-
ляющим интервалом множества G.
         Определение 60
         Линейной мерой интервала  (либо отрезка [а;b]) на-
зывают его длину, то есть число b – а, которое обозначают так:
                        т(а,b) = т[а;b] = b – а.
         Определение 61
         Линейной мерой ограниченного открытого множества G
называют сумму линейных мер составляющих его интервалов
                  
 k., то есть mG  m k .
                   k
      Замечание. Под используемым в определении символом
суммы  k
          в зависимости от мощности множества составляю-

щих интервалов, понимают либо конечную сумму, либо число-
вой ряд.

                                113