Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

115
Замечание. Пустое множество считают открытым
множеством, составляющих интервалов у него нет, следова-
тельно его линейная мера равна нулю.
Рассматривая непустое ограниченное замкнутое мно-
жество F, обозначим через
– наименьший отрезок [a,b], со-
держащий множество F. При этом очевидно, что дополнение
)(F
С
множества F до
- открытое множество и, следова-
тельно, имеет линейную меру m(
)(F
С
).
Определение 62
Линейной мерой непустого ограниченного замкнутого
множества F называют число:
m(F) = b – a - m (
)(F
С
).
Перечислим основные свойства линейных мер откры-
тых и
замкнутых (ограниченных) множеств:
1. Если Е
1
и Е
2
- ограниченные (открытые либо замкну-
тые) множества и
21
ЕЕ
, то
)()(
21
ЕmЕm
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Докажем для случая, когда Е
1
и Е
2
- ограниченные от-
крытые множества. Случай , когда Е
1
и Е
2
- ограниченные замк-
нутые множества, предлагаем читателю рассмотреть самостоя-
тельно.
Обозначим через
)1(
k
составляющие интервалы множе-
ства
Е
1
, и через
)2(
i
- составляющие интервалы множества Е
2
..
Предположим, что для каждого k найдется такое i , что
)1(
k
)2(
i
, то, очевидно:
m(
)1(
k
)
m(
),
i
i
k
k
mm )()(
)2()1(
,
откуда
21
mЕmЕ
.
Осталось показать, что если Е
1
и Е
2
- ограниченные
открытые множества и
21
ЕЕ
, то выполняется условие:
:ik
)1(
k
)2(
i
. 
        Замечание. Пустое множество считают открытым
множеством, составляющих интервалов у него нет, следова-
тельно его линейная мера равна нулю.
        Рассматривая непустое ограниченное замкнутое мно-
жество F, обозначим через  – наименьший отрезок [a,b], со-
держащий множество F. При этом очевидно, что дополнение
С  
     (F ) множества F до  - открытое множество и, следова-
тельно, имеет линейную меру m(           С (F ) ).
      Определение 62
      Линейной мерой непустого ограниченного замкнутого
множества F называют число:
                   m(F) = b – a - m (  (F ) ).  С
       Перечислим основные свойства линейных мер откры-
тых и
замкнутых (ограниченных) множеств:
     1. Если Е1 и Е2 - ограниченные (открытые либо замкну-
тые) множества и Е1  Е2 , то m( Е1 )  m( Е2 ) .
         Доказательство
         Докажем для случая, когда Е1 и Е2 - ограниченные от-
крытые множества. Случай , когда Е1 и Е2 - ограниченные замк-
нутые множества, предлагаем читателю рассмотреть самостоя-
тельно.
         Обозначим через (k1) составляющие интервалы множе-
ства
Е1 , и через (i2 ) - составляющие интервалы множества Е2..
Предположим, что для каждого k найдется такое i , что
(k1)  (i2 ) , то, очевидно:
            m( (k1) )  m( (i2 ) ),      m(
                                           k
                                                   (1)
                                                    k    )   m((i2) ) ,
                                                              i

откуда mЕ1  mЕ2 .
       Осталось показать, что если Е1 и Е2 - ограниченные
открытые множества и Е1  Е2 , то выполняется условие:
                                k i : (k1)  (i2 ) .

                                         115

Страницы