Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

121
3. Если ограниченное множество Е (открытое либо
замкнутое) является объединением конечного числа или счёт-
ного множества открытых множеств G
k
, (G =
k
k
G
), то
т(G)
k
k
Gm )(
.
Д о к а з а т е л ь с т в о этого свойства предлагаем
выполнить студенту в качестве самостоятельной работы.
4. Если F - замкнутое, G - открытое ограниченные
множества. и
GF
, то
)()( GmFm
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Всегда можно найти интервал
, удовлетворяющий ус-
ловию:
GF
, из которого видно, что
)(FG
C
и
))(()()( FmmFm
C
.
Согласно свойству 3 имеем:
))(()()( FmGmm
C
.
Посредством алгебраических преобразований получим:
)()( mFm
,
)()( GmFm
.
5. Линейная мера открытого (замкнутого) ограниченного
множества Е есть точная верхняя (нижняя) граница
мер всевозможных замкнутых (открытых) множеств, содер-
жащихся в множестве (содержащих множество) Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о этого свойства предлагаем
выполнить студенту в качестве самостоятельной работы.
Рассмотрим произвольное ограниченное множество – Е.
Определение 63
Внешней (внутренней) мерой m
*
Е ограниченного множе-
ства Е называют точную нижнюю (верхнюю) границу мер все-
возможных открытых (замкнутых) ограниченных множеств, со-
держащих (содержащихся в множестве Е) множество Е, то есть
m
*
Е =
))((
inf
Gm
ЕG
(m
*
Е =
))((
sup
Fm
ЕF
). 
       3. Если ограниченное множество Е (открытое либо
замкнутое) является объединением конечного числа или счёт-
ного множества открытых множеств Gk, (G = Gk ), то     k

                         т(G)      m(G
                                    k
                                           k   ).

      Д о к а з а т е л ь с т в о этого свойства предлагаем
выполнить студенту в качестве самостоятельной работы.
      4. Если F - замкнутое, G - открытое ограниченные
множества. и F  G , то m( F )  m(G) .
      Доказательство
      Всегда можно найти интервал  , удовлетворяющий ус-
ловию: F  G   , из которого видно, что
                   C
            G   (F ) и m( F )  m()  m(  ( F )) .    C
Согласно свойству 3 имеем: m()  m(G)  m(         C   
                                                            ( F )) .
Посредством алгебраических преобразований получим:
                      m()  m(G)  m( F )  m() ,
                              m( F )  m(G) .
    5. Линейная мера открытого (замкнутого) ограниченного
        множества Е есть точная верхняя (нижняя) граница
мер всевозможных замкнутых (открытых) множеств, содер-
жащихся в множестве (содержащих множество) Е.
        Д о к а з а т е л ь с т в о этого свойства предлагаем
выполнить студенту в качестве самостоятельной работы.
        Рассмотрим произвольное ограниченное множество – Е.
        Определение 63
        Внешней (внутренней) мерой m*Е ограниченного множе-
ства Е называют точную нижнюю (верхнюю) границу мер все-
возможных открытых (замкнутых) ограниченных множеств, со-
держащих (содержащихся в множестве Е) множество Е, то есть
                            m*Е =inf
                                  G Е
                                        (m(G))

                       (m*   Е = sup (m( F )) ).
                                  F Е




                                  121

Страницы