Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 122 стр.

       Теорема 27
        Внутренняя мера ограниченного множества E не пре-
восходит его внешнюю меру: m*Е  m*E.
       Доказательство
        Так как множество Е ограничено, то для него всегда су-
ществует открытое множество G и замкнутое множество F, та-
кие что F  E  G .
       Согласно свойствам 4 и 5 имеем: так как F  G ,
       то m( F )  m(G) или sup m( F )  inf m(G) , а следова-
тельно m* E  m*E.
       Определение 64
       Число mЕ равное внешней (внутренней m*Е) мере m*Е
произвольного ограниченного множества Е называют мерой
Лебега множества Е, если выполняется условие: m* Е = m*Е.
       Основные свойства множеств, имеющих меру Лебега.
       1. Открытое либо замкнутое ограниченные множест-
ва имеет меру Лебега.
       (Д о к а з а т е л ь с т в о следует из свойств 1 и 5.)
       2. Если Е есть ограниченное множество, содержащее-
ся в интервале  , то множества Е и С  Е одновременно либо
имеют, либо не имеют меру Лебега.
       Доказательство
       Если Е имеет меру Лебега, то
                         mЕ= m*Е= m  - m*С  Е ,
причем      m* С  Е= m  - m*Е
откуда,       mЕ= m*Е = m  - m* С  Е.
Следовательно, m* С  Е.= m* С  Е.
       3. Если ограниченное множество Е есть объединение
конечного или счётного числа множеств Еk, попарно не пересе-
кающихся и имеющих меру Лебега, то и множество Е имеет
меру Лебега, причем mЕ =  тЕk .
                             k
          Доказател ьство
          Рассмотрим неравенство:



                                    123