Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

125
k
k
тЕ
=
k
k
Ет
*
m
*
E,
k
k
тЕ
=
k
k
Ет
*
m
*
E ,
m
*
E
k
k
тЕ
m
*
E,
из которых видно, что m
*
E
m
*
E. Учитывая результат теоремы
1 (m
*
E
m
*
E), приходим к выводу: m
*
E = m
*
E. Откуда следует,
что существует mЕ и при этом mЕ =
k
k
тЕ
.
Замечание. Доказанное свойство меры Лебега называют её пол-
ной аддитивностью.
4. Пусть заданы ограниченные множества Е
1
, Е
2
, Е
3
,
…, соответственно имеющие меры Лебега: mЕ
1
, mЕ
2
, mЕ
3
, …
Если Е
1
Е
2
Е
3
… и множество Е =
1k
k
E
ог-
раничено, то
mЕ =
n
lim
[mE
n
].
Д о к а з а т е л ь с т в о
Множество Е можно представить в виде
Е = Е
1
(Е
2
/ Е
1
)
(Е
3
/ Е
2
)
(Е
4
/ Е
3
)
…,
где каждое из объединяемых множеств попарно не имеют об-
щих точек. Откуда, в силу свойства 3, следует, что
mЕ = mЕ
1
+
1
1
)(
k
kk
EEm
= mE
1
+
1
1
][
k
kk
mEmE
.
Переходя в полученном равенстве к пределу, будем иметь:
mЕ =
1
1
11
][lim
n
k
kk
n
mEmEmE
,
что и требовалось доказать, так как
mE
1
+
1
1
1
][
n
k
kk
mEmE
= mE
n
. 
                     тЕk
                                 k     =    т Е
                                            k
                                                        *
                                                            k        m*E,

                             тЕ
                            k
                                       т Е m E ,
                                        k   =
                                                    k
                                                            *        k           *


                                m E   тЕ  m E,
                                 *
                                                            k               *
                                                k
из которых видно, что m*E  m* E. Учитывая результат теоремы
1 (m* E  m*E), приходим к выводу: m* E = m*E. Откуда следует,
что существует mЕ и при этом mЕ =  тЕk .
                                                                k
Замечание. Доказанное свойство меры Лебега называют её пол-
ной аддитивностью.
       4. Пусть заданы ограниченные множества Е1, Е2, Е3,
…, соответственно имеющие меры Лебега: mЕ1, mЕ2, mЕ3, …
                                                                                              
       Если Е1  Е2  Е3  … и множество Е =                                                 E      k   ог-
                                                                                              k 1
раничено, то
                                      mЕ = lim [mEn].
                                                    n 
       Доказательство
       Множество Е можно представить в виде
           Е = Е1  (Е2 / Е1)  (Е3 / Е2)  (Е4 / Е3)  …,
где каждое из объединяемых множеств попарно не имеют об-
щих точек. Откуда, в силу свойства 3, следует, что
                                                                                
       mЕ = mЕ1+    m( Ek 1  Ek ) = mE1 +
                   k 1
                                                                                [mE
                                                                                k 1
                                                                                       k 1     mEk ] .
Переходя в полученном равенстве к пределу, будем иметь:
                                                    n 1
                                                                                       
                 mЕ = lim mE1 
                      n 
                                 
                                                    [mE
                                                     k 1
                                                                         k 1    mEk ] ,
                                                                                       
что и требовалось доказать, так как
                                     n 1
                    mE1 +        [mEk 1
                                                    k 1     mEk ] = mEn.




                                                    125

Страницы