Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 126 стр.

        5. Пусть заданы ограниченные множества Е1, Е2, Е3,
…, соответственно имеющие меры Лебега: mЕ1, mЕ2, mЕ3, … , и
        
   Е=   E     k   . Если Е1  Е2  Е3  …, то mE = lim [mEn].
                                                          n 
        k 1
      Доказательство
      Обозначив через  какой-нибудь интервал, содержащий
множество Е1, получим
                                                           
               C E1  C E2  C E3  ...,         C E   C Ek .
                                                           k 1
Откуда, согласно свойству (меры Лебега) 3, имеем:
                      m(C E )  lim[m(C En )] ,
                                     n
в силу свойств пределов, получим:
                          m  mE  lim[m  mEn ] ,
                                     n

                           m  mE  m  lim mEn ,
                                              n

то есть mE  lim mEn .
                    n
       Аналогично, изложенному здесь построению понятия
меры Лебега для линейных множеств на прямой, построена ле-
беговская мера на плоскости, в трехмерном пространстве, либо
вообще в евклидовом пространстве любой размерности n.
       Для каждого из выше названных пространств вводится
более общее понятие – измеримость множества по Лебегу.
       Определение 65
       Множества, имеющие меру Лебега, называют измери-
мыми.
       Понятие измеримого множества применяется в теории
вероятностей, теории динамических систем, функциональном
анализе и других областях математики.


        3.2. Измеримые функции и их основные свойства

       Наибольший интерес из всех измеримых по Лебегу мно-
жеств представляет множество функций.

                                     127