Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 128 стр.

         Здесь будем рассматривать лишь ограниченные функции
f действительного переменного определенные на измеримом
множестве Е.
         Через E(f(x) > A) будем обозначать множество всех то-
чек х  Е , в которых имеет место неравенство: f(x )> A, то есть
                 ( E(f(x) > A)   х / х  Е и f(x) > A  ).
         Аналогичный смысл имеют обозначения: E(f(x) < A),
E(f(x)  A), E(f(x) = A), E(f(x)  A), E(B  f(x) < A) и так далее.
         Определение 66
         Функцию f действительного переменного определенную
на множестве Е называют измеримой, если измеримы множест-
во Е и все множества E(f(x) > A), для любых А  (;) .
         Основные свойства измеримых функций
         1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль,
измерима.
         Д о к а з а т е л ь с т в о следует очевидным образом
из определения измеримой функции.
         2 Если функция f, заданная на измеримом множестве Е
измерима, то она измерима и на любом его измеримом под-
множестве Q.
         Доказательство
         Итак, из условия следует: Е - измеримое множество, Q
  Е , E(f(x) > A) и Q - измеримые множества. Чтобы функция f
была измерима на множестве Q, необходимо показать, что мно-
жество Q(f(x) > A) - измеримо. Из очевидного равенства:
                        Q (f(x) > A) = Q  E(f(x) > A),
видно, что множество правой части равенства измеримо, значит
измеримо и множество, стоящее в левой части равенства.
         3. Если функция f, заданная на измеримом множестве
Е измерима, то при любом А, измеримы и множества:
                 а) E(f(x)  A; б) E(f(x)  A); в) E(f(x)