Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

132
множестве Е измерима, значит измеримо и множество
E(f(x) > A),
для любых
);( А
. Представив множество E(f(x)
A в
виде:
E(f(x)
A ) = Е \ E(f(x) > A),
нетрудно заметить, что множество правой части измеримо (по
свойству меры множества по Лебегу, разность двух измеримых
множеств измерима), значит измеримо и множество, стоящее в
левой части равенства.
4. Если функция f, заданная на измеримом множестве
Е=
k
k
Q
(последовательность
k
- конечна либо счетна и
Nk
) измерима на каждом из его подмножеств Q
k
, где ка-
ждое множество Q
k
- измеримо, то она измерима и на множе-
стве Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Покажем, что множество E(f(x) > A) – измеримо. Дейст-
вительно,
E(f(x) > A) =
k
k
AxfQ ))((
где каждое
))(( AxfQ
k
по условию измеримо, следователь-
но, как объединение измеримых множеств, измеримо и множе-
ство E(f(x) > A).
5. Если функция f, заданная на измеримом множестве Е
измерима, а k- конечное число, то измеримы и функции:
а) f + k; б) kf; в)
f
; г)
2
f
; д)
, если
0)( xf
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
а) Запишем очевидное равенство:
Е((f + k)(x) >A ) = E(f(x)+k >A) = E(f(x)>A-k)
Из произвольности выбора чисел A и k, последнее множество
равенства измеримо по условию, следовательно измеримо и
множество левой части равенства. Значит функция f + k - изме-
рима. 
множестве Е измерима, значит измеримо и множество
                               E(f(x) > A),
для любых А  (;) . Представив множество E(f(x)  A в
виде:
                      E(f(x)  A ) = Е \ E(f(x) > A),
нетрудно заметить, что множество правой части измеримо (по
свойству меры множества по Лебегу, разность двух измеримых
множеств измерима), значит измеримо и множество, стоящее в
левой части равенства.
       4. Если функция f, заданная на измеримом множестве
   
Е= Qk        (последовательность k - конечна либо счетна и
   k
k  N ) измерима на каждом из его подмножеств Qk , где ка-
ждое множество Qk - измеримо, то она измерима и на множе-
стве Е.
        Доказательство
        Покажем, что множество E(f(x) > A) – измеримо. Дейст-
вительно,
                    E(f(x) > A) = Qk ( f ( x)  A)
                                  k

где каждое Qk ( f ( x)  A) по условию измеримо, следователь-
но, как объединение измеримых множеств, измеримо и множе-
ство E(f(x) > A).
        5. Если функция f, заданная на измеримом множестве Е
измерима, а k- конечное число, то измеримы и функции:
                                             1
       а) f + k; б) kf; в) f ; г) f 2 ; д)     , если f ( x)  0 .
                                             f
       Доказательство
       а) Запишем очевидное равенство:
             Е((f + k)(x) >A ) = E(f(x)+k >A) = E(f(x)>A-k)
Из произвольности выбора чисел A и k, последнее множество
равенства измеримо по условию, следовательно измеримо и
множество левой части равенства. Значит функция f + k - изме-
рима.



                                   132

Страницы