Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

134
б) Измеримость функции kf следует из очевидной изме-
римости множеств:
))((
k
A
хfЕ
при k>0;
))((
k
A
хfE
при
k<0, так как
,0,)((
,0),)((
)))(((
k
k
A
xfE
k
k
A
xfE
AxfkE
и измеримости функции kf=0 – const при k=0.
в) Функция
f
измерима, так как множество Е(
f
>A)
можно представить в виде:
Е(
f
>A) =
.0),)(())((
,0,
AеслиAxfEAxfE
AеслиE
г) Из равенства
Е(
2
f
(х)>A) =
,0),(
,0,
AеслиAfE
AеслиE
следует измеримость функции
2
f
.
д) Измеримость функции
f
1
(
) следует из
равенства:
.0),
1
)(()0)(()0)((
,0),
1
)(()0)((
,0),0)((
)
1
(
Aпри
A
xfExfExfE
Aпри
A
xfExfE
AприxfE
A
f
E
       б) Измеримость функции kf следует из очевидной изме-
                                    A                        A
римости множеств: Е ( f ( х)         ) при k>0; E ( f ( х)  ) при
                                    k                        k
k<0, так как
                                                     A
                                       E ( f ( x)  k ), k  0,
                 E (( fk )( x)  A)  
                                                      A
                                        E ( f ( x)  , k  0,
                                                    k
и измеримости функции kf=0 – const при k=0.
       в) Функция f измерима, так как множество Е( f >A)
можно представить в виде:
       Е( f >A)                                                              =
                 E,                   если A  0,

 E ( f ( x)  A)  E ( f ( x)   A), если A  0.


        г) Из равенства
                                  E,      если A  0,
                    2      
             Е( f (х)>A) = 
                           
                            E ( f  A), если A  0,
следует измеримость функции f 2 .
                                   1
        д) Измеримость функции         ( f ( x)  0 ) следует из
                                    f
равенства:
                   E ( f ( x)  0),                                      при A  0,
                  
          1       
                                                  1
       E (  A)   E ( f ( x)  0)  E ( f ( x)  ),                     при A  0,
          f                                       A
                   E ( f ( x)  0)  E ( f ( x)  0)  E ( f ( x)  1 ), при A  0.
                                                                   A




                                        134

Страницы