Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 136 стр.

       Доказательство
       Множество рациональных чисел счетно, значит их мож-
но перенумеровать: q1 , q2 ,..., qn ,... , тогда
                               
             E(f(x)>g(x))     E f x   q   Eg x   q  .
                              k 1
                                                  k                  k


       Каждое множество в записи правой части равенства из-
меримо, пересечение измеримых множеств измеримо и объеди-
нение счетного числа измеримых множеств – множество изме-
римое, значит и множество левой части равенства также изме-
римо. Следовательно, функция g измерима.
    7. Разность, сумма, произведение и, в том случае, когда
делитель не равен нулю, частное двух измеримых функций f и g,-
есть функция измеримая.
       Доказательство
        а) Разность измеримых функций f-g измерима, так как
                      E((f-g)(x)>A) = E(f(x)>A+g(x)) .
       Множество, стоящее в правой части равенства, измеримо
на основании предыдущего свойства, так как функция A+g(x) -
измерима на основании свойства 5.
       б) Сумма измеримых функций f+g - измерима, так как
       (f + g)(x) = f(x )+ g (x ) = f(x) - (- g (x )), а - g(x)=(-1)g(x) -
измерима на основании свойства 5.
       в) Произведение fg может быть представлено как раз-
ность квадратов измеримых функций, то есть функций, измери-
мых
                               1
                                 ( f x   g x    f x   g x  )
                                                    2                    2
           (fg)(x)=f(x)g(x)=
                               4
      Следовательно, на основании свойства 7(б) функция fg
измерима.
      г) Частное ( f )x   f x   f x   1 измеримо как про-
                        g          g x          g x 
                                                                    1
изведение измеримых функций, так как функция                             при
                                                                  g x 
g(x)  0 есть измеримая функция на основании свойства 5.



                                            137