Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 138 стр.

        3.3. Интеграл Лебега измеримой функции
        и его основные свойства

       Рассмотрим измеримую ограниченную функцию f на из-
меримом множество Е, причем a  f ( x)  A , где а и А-данные
числа. Разобьем отрезок [a;A], принадлежащий координатной
оси Оу, на части точками деления
                              a  y0  y1  ...  y n  A.
                                                                   _
        Пусть   max  yi 1  yi  , где i  1; n . Из выше сказан-
ного следует, что все множества: E  yi  f  yi 1  - измеримы,
попарно не пересекаются и для них справедливы равенства:
               n 1                                              n 1
         Е   E  yi  f  yi 1  ;                     mЕ   mE yi  f  yi 1  .
               i 0                                              i 0
                                   n 1
Составим сумму: S                 y mE y
                                   i 0
                                          i           i    f  yi 1  .

        Определение 67
                            n 1
        Сумму S            y mE y
                            i 0
                                     i           i    f  yi 1       называют инте-

гральной суммой Лебега.
       Определение 68
       Если существует предел интегральной суммы Лебега
при стремлении  к нулю, то число:

                      I  lim S  lim  yi mE yi  f  yi 1 
                           0             0

называют интегралом Лебега функции f на множестве E и
обозначают L  f ( x)dx .
                      
                      E
       Замечание. Если множество E есть отрезок [c;d], то
интеграл Лебега функции f на отрезке [c;d] обозначают
    d
L  f ( x)dx .
    c



                                                     139