Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

141
Теорема 28
Если функция f измерима на измеримом множестве Е,
то интеграл Лебега
E
dxxfL )(
всегда существует.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Рассмотрим очевидное неравенство:
)(sup
1
0
1
xfyfymEy
n
i
iii
1
0
1
n
i
ii
yfymE
,
где
)(sup xf
- сonst, ряд
1
0
1
n
i
ii
yfymE
- сходящийся.
Следовательно, сумма Лебега:
1
0
1
n
i
iii
yfymEy
- ограниченна сверху, а при более мелком дроблении, разве
лишь возрастает. Значит предел суммы Лебега измеримой
функции f на измеримом множестве E существует, то есть вся-
кая измеримая функция интегрируема по Лебегу.
Перечислим некоторые основные свойства интеграла
Лебега:
1. Если на измеримом множестве Е, мера которого равна
нулю, задана ограниченная измеримая функция f, то
E
dxxfL )(
=0.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Мера всякого подмножества множества меры нуль так-
же равна нулю. Следовательно, любая интегральная сумма Ле-
бега заданной функции, равна нулю. Значит, значения прини-
маемые подынтегральной функцией на множестве W
Е
при
условии: mW=0, не влияют на величину интеграла Лебега.
2. Если измеримая функция f на измеримом множест-
ве Е удовлетворяет неравенству: A
f(x)
B, (A;B –const), то 
           Теорема 28
           Если функция f измерима на измеримом множестве Е,
то интеграл Лебега L  f ( x)dx всегда существует.
                                     
                                     E
           Доказательство
           Рассмотрим очевидное неравенство:
                       n 1

                        y mE y
                       i 0
                               i                i        f  yi 1   sup f ( x) 
                              n 1

                               mE y
                              i 0
                                                    i     f  yi 1  ,
                                            n 1
где       sup f ( x) - сonst, ряд            mE y
                                            i 0
                                                                 i    f  yi 1  - сходящийся.
Следовательно, сумма Лебега:
                                     n 1

                                      y mE y
                                     i 0
                                            i                i    f  yi 1 

- ограниченна сверху, а при более мелком дроблении, разве
лишь возрастает. Значит предел суммы Лебега измеримой
функции f на измеримом множестве E существует, то есть вся-
кая измеримая функция интегрируема по Лебегу.
       Перечислим некоторые основные свойства интеграла
       Лебега:
    1. Если на измеримом множестве Е, мера которого равна
нулю, задана ограниченная измеримая функция f, то
L  f ( x)dx =0.
      E
        Доказательство
        Мера всякого подмножества множества меры нуль так-
же равна нулю. Следовательно, любая интегральная сумма Ле-
бега заданной функции, равна нулю. Значит, значения прини-
маемые подынтегральной функцией на множестве W  Е при
условии: mW=0, не влияют на величину интеграла Лебега.
        2. Если измеримая функция f на измеримом множест-
ве Е удовлетворяет неравенству: A  f(x)  B, (A;B –const), то



                                                            141

Страницы