Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

150
Действительно, пусть
- предельная точка множества
М, пусть в этой точке функция f непрерывна. Тогда f(
) < А,
причем неравенство остается в силе и для некоторой
-
окрестности точки
. Значит
не может быть предельной для
множества М. Отсюда следует, что если
-предельная точка
множества М, не принадлежащая ему, то
есть точка разрыва,
то есть точка, принадлежащая Е.
Поскольку
0mE
, то
0)/(
MSMm
, а это означа-
ет, что множество
MSM /
измеримо.
Разобьем промежуток S=[a;b] точками деления
bxxxa
n
...
10
и обозначим через
i
H
и
i
h
верхнюю и
нижнюю грани функции f на промежутке
],[
1ii
xx
. Тогда
справедливо неравенство:
.
Просуммировав по индексу i , имеем:
b
a
iii
n
i
iii
n
i
xxHdxxfLxxh
1
1
0
1
1
0
)(
.
Между теми же суммами заключен и интеграл Римана
b
a
dxxfR )(
. Переходя к пределу, получим:
b
a
b
a
dxxfRdxxfL )()(
. 
        Действительно, пусть  - предельная точка множества
М, пусть в этой точке функция f непрерывна. Тогда f(  ) < А,
причем неравенство остается в силе и для некоторой  -
окрестности точки  . Значит  не может быть предельной для
множества М. Отсюда следует, что если  -предельная точка
множества М, не принадлежащая ему, то  есть точка разрыва,
то есть точка, принадлежащая Е.
        Поскольку mE  0 , то m(M S / M )  0 , а это означа-
ет, что множество M   S / M  измеримо.
        Разобьем промежуток S=[a;b] точками деления
a  x0  x1  ...  xn  b и обозначим через H i и hi верхнюю и
нижнюю грани функции f                на промежутке [ xi , xi 1 ] .         Тогда
справедливо неравенство:
                                        xi 1

                  hi xi 1  xi   L   f ( x)dx  H i xi 1  xi  .
                                         xi
       Просуммировав по индексу i , имеем:
           n 1                          b              n 1

                 hi xi 1  xi   L  f ( x)dx   H i xi 1  xi  .
           i 0                          a              i 0

       Между теми же суммами заключен и интеграл Римана
   b
R  f ( x)dx . Переходя к пределу, получим:
   a
                                b                   b
                           L  f ( x)dx  R  f ( x)dx .
                                a                   a




                                              150

Страницы