Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

152
РАЗДЕЛ 4. РЯДЫ ФУРЬЕ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Скалярное произведение. Предгильбертовы про-
странства. Неравенство Коши-Буняковского
Рассмотрим пространство G произвольной природы эле-
ментов: s, l, t, v, f, g, u, w, … . Пусть в пространстве введена
метрика
),( ts
),( Gts
и норма
s
)( Gs
.
Определение 69
Скалярным произведением произвольной пары элемен-
тов s и t линейного пространства G называют такое число
),( ts
, что для любых s, t, g
G и любого числа
выполняются
условия (аксиомы скалярного произведения):
1)
),( ts
=
),( st
,
2)
),( ts
=
),( ts
,
3)
=
),( ts
+
),( tg
,
4)
0,0),( sеслиss
.
Определение 70
Линейное пространство с введенным на нем скалярным
произведением называют предгильбертовым пространством.
Основные свойства предгильбертовых пространств:
1. В предгильбертовых пространствах для любых эле-
ментов s и t справедливо неравенство Коши-Буняковского:
tsts ),(
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Итак, используя аксиомы скалярного произведения по-
лучим:
tsts
,
tttsss ,,2,
2
, кроме того,
согласно четвертой аксиомы скалярного произведения имеем:
0, tsts
. Но квадратный трехчлен относительно
:
tttsss ,,2,
2
будет неотрицательным только в слу-
чае, если его дискриминант не может быть положительным, то
есть:
0,,,
2
ttssts
, откуда
ttssts ,,,
2
. 
РАЗДЕЛ 4. РЯДЫ ФУРЬЕ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

      4.1. Скалярное произведение. Предгильбертовы про-
странства. Неравенство Коши-Буняковского

       Рассмотрим пространство G произвольной природы эле-
ментов: s, l, t, v, f, g, u, w, … . Пусть в пространстве введена
метрика  ( s, t ) (s, t  G) и норма s (s  G) .
            Определение 69
            Скалярным произведением произвольной пары элемен-
тов s и t линейного пространства G называют такое число
( s, t ) , что для любых s, t, g  G и любого числа  выполняются
условия (аксиомы скалярного произведения):
      1) ( s, t ) = (t , s) ,
      2) (  s, t ) =   ( s, t ) ,
      3) ( s  g , t ) = ( s, t ) + ( g , t ) ,
   4) (s, s)  0 , если s  0 .
       Определение 70
       Линейное пространство с введенным на нем скалярным
произведением называют предгильбертовым пространством.
       Основные свойства предгильбертовых пространств:
       1. В предгильбертовых пространствах для любых эле-
ментов s и t справедливо неравенство Коши-Буняковского:
                           ( s, t )  s  t .
         Доказательство
         Итак, используя аксиомы скалярного произведения по-
лучим:       s  t, s  t   2 s, s   2 s, t   t, t  , кроме того,
согласно четвертой аксиомы скалярного произведения имеем:
s  t, s  t   0 . Но квадратный трехчлен относительно  :
2 s, s   2 s, t   t , t  будет неотрицательным только в слу-
чае, если его дискриминант не может быть положительным, то
есть: s, t   s, s   t , t   0 , откуда s, t   s, s   t , t  .
             2                                         2




                                          152

Страницы