Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

154
В предгильбертовых пространствах норму задает формула:
sss ,
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
а) Из условия рассматриваемого свойства и четвертой
аксиомы скалярного произведения следует, что
sss ,
0
и
00, ssss
.
б) Согласно третьей и первой аксиомам скалярного про-
изведения, получим:
.,,
,,,
2
sssss
sssssss
в) Справедливость третьей аксиомы нормы следует из
неравенства Коши-Буняковского:
222
2
2
,,2,,
tsttss
tttssstststs
откуда и следует, что
tsts
.
Примеры некоторых предгильбертовых пространств.
1.
n
- мерное евклидово пространство .
Элементами пространства являются векторы. Пусть
n
sssss ,...,,,
321
и
.
Скалярное произведение имеет вид:
n
i
ii
tsts
1
,
.
Формула
n
i
i
ss
1
2
, определяет норму в рассматриваемом
пространстве, а формула
n
i
ii
tsts
1
2
,
задает метрику.
Неравенство Коши-Буняковского имеет вид: 
В предгильбертовых пространствах норму задает формула:
                                             s      s, s          .
      Доказательство
      а) Из условия рассматриваемого свойства и четвертой
аксиомы скалярного произведения следует, что
                    s           s, s   0 и    s         s, s   0  s  0 .
       б) Согласно третьей и первой аксиомам скалярного про-
изведения, получим:
                     s       s, s    s, s    s, s  
                         2 s, s    s, s    s .
       в) Справедливость третьей аксиомы нормы следует из
неравенства Коши-Буняковского:
                                  s  t , s  t   s, s   2s, t   t , t  
                             2
                   st
                                                                 s  t          
                                     2                       2                    2
                           s 2 s  t  t
откуда и следует, что
                                           st  s  t .
          Примеры некоторых предгильбертовых пространств.
   1.      n
         - мерное евклидово пространство .
Элементами пространства являются векторы. Пусть
              s  s1 , s 2 , s3 ,..., sn  и t  t1 , t 2 , t 3 ,..., t n .
                                                                          n
Скалярное произведение имеет вид:                       s, t    si t i .
                                                                         i 1
                         n
Формула s              s
                        i 1
                                 2
                                 i   , определяет норму в рассматриваемом

                                                        n
пространстве, а формула  s, t                      s            t i  задает метрику.
                                                                              2
                                                                 i
                                                      i 1
Неравенство Коши-Буняковского имеет вид:




                                                   154

Страницы