Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

156
n
i
ii
ts
1
n
i
i
s
1
2
n
i
i
t
1
2
.
2. Линейное пространство действительных функций, не-
прерывных на отрезке
ba;
.
Пусть скалярное произведение имеет вид:
b
a
dxxtxsts )()(,
,
формула
b
a
dxxss )(
2
, определяет норму в рассматривае-
мом пространстве, а формула
b
a
dxxtxsts
2
)()(,
за-
дает метрику. Неравенство Коши-Буняковского имеет вид:
b
a
dxxs )(
2
b
a
dxxt )(
2
.
3. L
2
- пространство эквивалентных классов измеримых ог-
раниченных функций.
Определение 71
Две ограниченные измеримые функции f и g, заданные
на измеримом множестве E называют эквивалентными, если
мера множества
)( gfE
равна нулю.
Элементами пространства L
2
являются классы эквива-
лентных между собой измеримых функций, определенных на
измеримом множестве Е. На множестве Е задана мера
Е
,
удовлетворяющая условию:
Е
. Сложение, умножение
классов функций на числа определяется как обычное сложение
и умножение функций, а скалярное произведение определяется
формулой:
Е
dxtxsLts
)()(,
, 
                                  n                    n               n

                                  si t i
                                 i 1
                                                      si2 
                                                      i 1
                                                                      t
                                                                      i 1
                                                                              i
                                                                               2
                                                                                   .

   2. Линейное пространство действительных функций, не-
прерывных на отрезке a; b .
Пусть скалярное произведение имеет вид:
                                            b
                                 s, t    s( x)t ( x)dx ,
                                            a
                   b
формула s         s
                        2
                            ( x)dx , определяет норму в рассматривае-
                   a

                                                             b
мом пространстве, а формула  s, t                         s( x)  t ( x) dx
                                                                                       2
                                                                                           за-
                                                             a
дает метрику. Неравенство Коши-Буняковского имеет вид:

               b                            b                     b

                s( x)t ( x)dx              s ( x)dx           t
                                               2                       2
                                                                             ( x)dx .
               a                            a                     a
   3. L2 - пространство эквивалентных классов измеримых ог-
раниченных функций.
       Определение 71
       Две ограниченные измеримые функции f и g, заданные
на измеримом множестве E называют эквивалентными, если
мера множества E ( f  g ) равна нулю.
       Элементами пространства L2 являются классы эквива-
лентных между собой измеримых функций, определенных на
измеримом множестве Е. На множестве Е задана мера  Е  ,
удовлетворяющая условию:  Е    . Сложение, умножение
классов функций на числа определяется как обычное сложение
и умножение функций, а скалярное произведение определяется
формулой:

                               s, t   L  s( x)t ( x)d ,
                                                Е


                                                156

Страницы