Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

17
и если при каждом n
A
n
~ B
n
(n=1, 2, 3, …),
то
11
~
к
к
к
к
ВА
1.3. Счетные множества.
Свойства счетных множеств
Определение 14
Множество А называют счётным множеством, если оно
эквивалентно множеству N всех натуральных чисел.
Примеры счётных множеств:
А =
,1
4, 9, 16, …, n
2
, …
,
В =
,1
8, 27, 64, …, n
3
, …
,
С =
,2
4, 6, 8, …, 2n, …
,
D =
,1
,
2
1
,
3
1
,
4
1
…,
,
1
n
…
.
Теорема 2
Для того чтобы множество А было счётным, необхо-
димо и достаточно, чтобы его можно было «перенумеровать»,
то есть представить в форме последовательности
А={а
1
, а
2
, а
3
, …, а
n
, …}.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Если множество А представлено в форме
А={а
1
, а
2
, а
3
, …, а
n
, …},
то достаточно каждому его элементу а
n
соотнести индекс
n этого элемента, чтобы получить взаимнооднозначное соответ-
ствие между А и N, так что А счётно.
Обратно, если А счётно, то существует взаимноодно-
значное соответствие
между А и N. Достаточно обозначить
через а
n
тот из элементов множества А который в соответствии
отвечает числу n, чтобы получить представление А в форме
А={а
1
, а
2
, а
3
, …, а
n
, …}. 
       и если при каждом n
                      An ~ Bn       (n=1, 2, 3, …),
       то
                                        

                             Ак ~  Вк
                            к 1         к 1




       1.3. Счетные множества.
       Свойства счетных множеств

       Определение 14
       Множество А называют счётным множеством, если оно
эквивалентно множеству N всех натуральных чисел.
       Примеры счётных множеств:
                   А = 1, 4, 9, 16, …, n2, …  ,
                   В = 1, 8, 27, 64, …, n3, …        ,
                   С = 2, 4, 6, 8, …, 2n, …          ,
                 D = 1,                               .
                           1 1 1    1
                            , , , …, , …
                           2 3 4     n
       Теорема 2
       Для того чтобы множество А было счётным, необхо-
димо и достаточно, чтобы его можно было «перенумеровать»,
то есть представить в форме последовательности
                        А={а1, а2, а3, …, аn, …}.
       Доказательство
       Если множество А представлено в форме
                        А={а1, а2, а3, …, аn, …},
       то достаточно каждому его элементу аn соотнести индекс
n этого элемента, чтобы получить взаимнооднозначное соответ-
ствие между А и N, так что А счётно.
       Обратно, если А счётно, то существует взаимноодно-
значное соответствие  между А и N. Достаточно обозначить
через аn тот из элементов множества А который в соответствии
 отвечает числу n, чтобы получить представление А в форме
                        А={а1, а2, а3, …, аn, …}.

                                    17

Страницы