Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

19
Теорема 3
Из всякого бесконечного множества А можно выделить
счётное подмножество D.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть А бесконечное множество, из него всегда можно
выделить произвольный элемент а
1
. Так как А бесконечно, то
оно не исчерпывается выделением элемента а
1
, что позволяет
выделить элемент а
2
из оставшегося множества А / {а
1
}. По тем
же соображениям множество А / {а
1,
а
2
} не пусто, и из него
можно выделить элемент а
3
. Ввиду бесконечности множества А
этот процесс можно продолжать неограниченно, в результате
чего получится последовательность выделенных элементов а
1
,
а
2
, …, а
n
, …, которая и образует искомое счетное множество D.
Теорема 4
Всякое бесконечное подмножество В счётного множе-
ства А счётно.
Д о к а з а т е л ь с т в о
По условию А счётное множество, а В его бесконечное
подмножество. Расположив элементы множества А в форме по-
следовательности
а
1
, а
2
, а
3
, …, а
n
, …
и перебирая элементы А в порядке их номеров, можно встретить
элементы множества В, так как множество В есть подмножест-
во множества А. Определив каждому элементу множества В но-
мер под которым они встретились, можно перенумеровать мно-
жество В. В силу его бесконечности в перенумерации будут за-
няты все натуральные числа.
Теорема 5
Если из счётного множества А удалить конечное под-
множество М, то оставшееся множество А / М будет счёт-
ным.
(Д о к а з а т ь самостоятельно)
Теорема 6
Объединение конечного множества и счётного множе-
ства без общих элементов есть счётное множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть А = { а
1
, а
2
, …, а
n
} и В = {b
1
, b
2
, b
3
, …}, причём
А
В =Ø. Если А
В = S, то S можно представить в форме 
        Теорема 3
        Из всякого бесконечного множества А можно выделить
счётное подмножество D.
        Доказательство
        Пусть А бесконечное множество, из него всегда можно
выделить произвольный элемент а1. Так как А бесконечно, то
оно не исчерпывается выделением элемента а1, что позволяет
выделить элемент а2 из оставшегося множества А / {а1}. По тем
же соображениям множество А / {а1, а2} не пусто, и из него
можно выделить элемент а3. Ввиду бесконечности множества А
этот процесс можно продолжать неограниченно, в результате
чего получится последовательность выделенных элементов а1,
а2, …, аn, …, которая и образует искомое счетное множество D.
        Теорема 4
        Всякое бесконечное подмножество В счётного множе-
ства А счётно.
        Доказательство
        По условию А счётное множество, а В его бесконечное
подмножество. Расположив элементы множества А в форме по-
следовательности
                            а1, а2, а3, …, аn, …
и перебирая элементы А в порядке их номеров, можно встретить
элементы множества В, так как множество В есть подмножест-
во множества А. Определив каждому элементу множества В но-
мер под которым они встретились, можно перенумеровать мно-
жество В. В силу его бесконечности в перенумерации будут за-
няты все натуральные числа.
        Теорема 5
        Если из счётного множества А удалить конечное под-
множество М, то оставшееся множество А / М будет счёт-
ным.
        (Д о к а з а т ь самостоятельно)
        Теорема 6
        Объединение конечного множества и счётного множе-
ства без общих элементов есть счётное множество.
        Доказательство
        Пусть А = { а1, а2, …, аn} и В = {b1, b2, b3, …}, причём
А  В =Ø. Если А  В = S, то S можно представить в форме

                                  19

Страницы