Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

29
[a,b], (a,b) , (a,b], [a,b)
является множеством континуума.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
A = [a, b], U = [0, 1].
Формула: y = a + (b – a)x, устанавливает взаимноодно-
значное соответствие между множествами: А = {у}, U = {х}, от-
куда и следует, что А – есть множество континуума.
Так как удаление одного или двух элементов из беско-
нечного множества приводит к множеству, эквивалентному ис-
ходному, то множество точек промежутков:
(a, b), (a, b], [a, b)
также являются множествами континуума.
Теорема 12
Объединение конечного числа попарно не пересекающих-
ся множеств континуума является множеством континуума.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
S =
n
k
k
E
1
(Е
k
E
k
,
=
,
kk
),
где каждое Е
k
– множество континуума.
Возьмём полуинтервал [0, 1) и точками:
0 = с
0
21
сс
…
1
1
пп
сс
разделим его на п полуинтервалов:
[с
k-1
, c
k
) ( k = 1, 2, …, n).
Множество точек каждого полуинтервала является множеством
континуума. Между множеством точек Е
k
и полуинтервалом:
[с
k-1
, c
k
) всегда можно установить взаимнооднозначное соответ-
ствие. А значит существует и взаимнооднозначное соответствие
между множеством S и полуинтервалом:
[0, 1) =
.,
1
1
n
k
kk
cc
Теорема 13
Объединение счётного множества попарно непересе-
кающихся множеств континуума есть множество континуу-
                         [a,b], (a,b) , (a,b], [a,b)
        является множеством континуума.
        Доказательство
        Пусть
                          A = [a, b], U = [0, 1].
        Формула: y = a + (b – a)x, устанавливает взаимноодно-
значное соответствие между множествами: А = {у}, U = {х}, от-
куда и следует, что А – есть множество континуума.
         Так как удаление одного или двух элементов из беско-
нечного множества приводит к множеству, эквивалентному ис-
ходному, то множество точек промежутков:
                           (a, b), (a, b], [a, b)
также являются множествами континуума.
        Теорема 12
        Объединение конечного числа попарно не пересекающих-
ся множеств континуума является множеством континуума.
        Доказательство
        Пусть
                        n
                  S=   E     k   (Еk  E k  , =  , k  k  ),
                       k 1
где каждое Еk – множество континуума.
Возьмём полуинтервал [0, 1) и точками:
                  0 = с0  с1  с2  …  сп1  сп  1
разделим его на п полуинтервалов:
                      [сk-1, ck)   ( k = 1, 2, …, n).

Множество точек каждого полуинтервала является множеством
континуума. Между множеством точек Еk и полуинтервалом:
[сk-1, ck) всегда можно установить взаимнооднозначное соответ-
ствие. А значит существует и взаимнооднозначное соответствие
между множеством S и полуинтервалом:
                                          n
                              [0, 1) =    c
                                         k 1
                                                k 1   , c k .

      Теорема 13
      Объединение счётного множества попарно непересе-
кающихся множеств континуума есть множество континуу-

                                          29

Страницы