Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 26 стр.

       Теперь разделим на три равные отрезка отрезок U1, обо-
значив через U2 тот, который не содержит точки х2 (а если таких



сегментов два, то один из них, например тот, что расположен
левее).
        Затем делим на три равные отрезка отрезок U2 и обозна-
чаем через U3 тот из них, который не содержит точки х3 и т. д.
        В результате мы получим бесконечную последователь-
ность вложенных друг в друга отрезков:
                       U  U1  U 2  U 3  ...,
которые обладают тем свойством, что
                               хn  Un.
                         1
Длина отрезка Un равна      . С возрастанием n длина отрезка Un
                         3n
будет стремиться к нулю, значит по теореме о вложенных от-
резках, существует точка  , принадлежащая всем сегментам Un:
                           U n ( n = 1, 2, 3, …).
Очевидно, что точка  должна входить в последовательность:
                             х1, х2, х3, …,
но это невозможно. Какое бы n ни взять мы имеем:
                  хп  U n ,   U n , откуда   хп ,
то есть  не может совпасть ни с одной из точек последова-
тельности: х1, х2, х3, …
        Полученное противоречие и доказывает сделанное
предположение:
               «множество точек отрезка [0, 1] несчётено».
        Определение 15
        Множество А эквивалентное множеству точек отрезка
[0,1] называют множеством континуума.
        Теорема 11
        Множество точек любого промежутка:


                                    27