Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 24 стр.

счётно. Но знаменатель может принять также счётное множест-
во натуральных значений 1, 2, 3, … Значит множество дробей
p
  счётно; удаляя из него все сократимые дроби (множество
q
которых счетно), убеждаемся в счётности R+ всех положитель-
ных рациональных чисел. Так как множество R_ отрицательных
рациональных чисел эквивалентно множеству R+, то счётно и
оно, а тогда счётно и множество R, ибо
                         R = R_  {0}  R+.

        Следствие. Множество рациональных чисел любого от-
резка: [a, b] - счётно.


        1.4. Несчетные множества. Множества континуума
        и их свойства

       Рассмотрим математическое утверждение «Среди всех
бесконечных множеств имеются и несчетные множества. Так,
например, множество точек отрезка [0, 1] несчётено». Докажем
это утверждение методом «от противного».
       Пусть множество точек отрезка [0, 1] - есть счётное
множество. Тогда все точки его можно расположить в виде по-
следовательности:
                               х1, х2, х3, …
       Тогда всякая точка х  [0, 1] находится в этой последо-
вательности. Разделим отрезок [0, 1] на три равные части точ-
       1 2
ками    и . Поскольку точка х1 не может принадлежать всем
       3 3
трём отрезкам:
                        1  1 2   2 
                       0, 3  ,  3 , 3  ,  3 ,1 ,
Один из данных отрезков не содержит её. Обозначим через U1
любой отрезок, которому точка х1 не принадлежит (в случае
если она не принадлежит сразу двум отрезкам, то выберем са-
мый левый из них).

                                       25