Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

23
Теорема 9
Объединение счётного множества попарно не пересе-
кающихся счётных множеств есть счётное множество
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть множества А
k
(k = 1, 2, 3, …) попарно не пересека-
ются и счётны. Запишем эти множества так:
А
1
= {а
)1(
1
, а
)1(
2
, а
)1(
3
, …}
А
2
= {а
,
)2(
1
а
,
)2(
2
а
)2(
3
, …}
А
3
= {а
,
)3(
1
а
,
)3(
2
а
)3(
3
, …}
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Если мы выпишем элемент а
,
)1(
1
затем оба элемента а
,
)1(
2
и а
,
)2(
1
у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3,
затем те элементы, у которых эта сумма равна 4, и т. д., то
объединение
S =
1k
k
A
окажется представленной в форме последо-
вательности
S={
)1(
1
а
,
)1(
2
а
,
)2(
1
а
,
)1(
3
а
,
,
)3(
1
а
,
)1(
4
а
, …},
откуда и следует её счётность.
Замечание. Иногда говорят также, что множество А
«имеет мощность а». Используя символ а как обозначение
мощности счётного множества, можно доказанные теоремы
изобразить с помощью мнемонических схем:
a – n = a, a + n = a, a + a + … + a = na =a,
n
1
+ n
2
+ n
3
+ … =a, a + a + a + … = aa =a.
Теорема 10
Множество всех рациональных чисел счётно.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Множество дробей вида
q
p
с данным знаменателем q т.
е. множество
q
1
,
q
2
,
q
3
, … 
       Теорема 9
       Объединение счётного множества попарно не пересе-
кающихся счётных множеств есть счётное множество
       Доказательство
       Пусть множества Аk(k = 1, 2, 3, …) попарно не пересека-
ются и счётны. Запишем эти множества так:
                      А1 = {а 1(1) , а (21) , а 3(1) , …}
                               А2 = {а 1( 2 ) , а (22 ) , а 3( 2 ) , …}
                      А3 = {а 1( 3) , а (23) , а 3( 3) , …}
                       . . . . . . . . . .
                       . . . . . . . . . .
         Если мы выпишем элемент а 1(1) , затем оба элемента а (21) ,
и а 1( 2 ) , у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3,
затем те элементы, у которых эта сумма равна 4, и т. д., то
объединение
                   
          S=      A
                  k 1
                         k   окажется представленной в форме последо-

вательности
             S={ а1(1) , а 2(1) , а1( 2 ) , а 3(1) , а 2( 2 ) , а1( 3) , а 4(1) , …},
откуда и следует её счётность.
       Замечание. Иногда говорят также, что множество А
«имеет мощность а». Используя символ а как обозначение
мощности счётного множества, можно доказанные теоремы
изобразить с помощью мнемонических схем:
            a – n = a, a + n = a, a + a + … + a = na =a,
            n1 + n2 + n3 + … =a, a + a + a + … = aa =a.
       Теорема 10
       Множество всех рациональных чисел счётно.
       Доказательство
                                              p
         Множество дробей вида                  с данным знаменателем q т.
                                              q
                  1 2 3
е. множество       , ,  ,…
                  q q q

                                                23

Страницы