Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

37
РАЗДЕЛ 2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
2.1. Метрика. Примеры метрических пространств
Идея «метрики» в пространстве формализует понятие
«расстояния». В обобщенном смысле можно ввести расстояние
между объектами различной природы, например, функциями
или последовательностями.
Определение 17
Метрикой называют числовой прообраз функции (х,у),
зависящей от двух переменных и удовлетворяющей трем аксио-
мам:
а) неотрицательность: для всех точек множества (х,у)
0, причем условие (х,у) = 0 выполняется только в единствен-
ном случае, если х = у;
б) симметричность: для всех точек множества (х,у) =
(у,х)
в) неравенство треугольника: для всех точек множества
выполняется неравенство
(х,у) (х,z)+(z,у).
Определение 18
Метрическим пространством называют множество Х,
на котором определена метрика. То есть любым двум элементам
(точкам) х,у данного множества сопоставлено число удовлетво-
ряющее всем трем аксиомам метрики.
Теорема 15
Справедливо неравенство

(х,z)

(z,у)
(х,у),
которое следует из неравенства треугольника.
Д о к а з а т е л ь с т в о
По аксиомам «неравенство треугольника» и «симметрия
метрики» имеем:
(х,z) (х,у) + (z,у), (z,у) (х,у) + (х,z).
Из первого неравенства следует (х,z) (z,у) (х,у), из
второго – (z,у) (х,z) (х,у). Нужное неравенство следует из 
   РАЗДЕЛ 2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА


       2.1. Метрика. Примеры метрических пространств

       Идея «метрики» в пространстве формализует понятие
«расстояния». В обобщенном смысле можно ввести расстояние
между объектами различной природы, например, функциями
или последовательностями.
       Определение 17
       Метрикой называют числовой прообраз функции (х,у),
зависящей от двух переменных и удовлетворяющей трем аксио-
мам:
       а) неотрицательность: для всех точек множества (х,у) 
0, причем условие (х,у) = 0 выполняется только в единствен-
ном случае, если х = у;
       б) симметричность: для всех точек множества (х,у) =
(у,х)
       в) неравенство треугольника: для всех точек множества
выполняется неравенство
                            (х,у)  (х,z)+(z,у).
       Определение 18
       Метрическим пространством называют множество Х,
на котором определена метрика. То есть любым двум элементам
(точкам) х,у данного множества сопоставлено число удовлетво-
ряющее всем трем аксиомам метрики.
       Теорема 15
       Справедливо неравенство
                           (х,z)(z,у)  (х,у),
которое следует из неравенства треугольника.
       Доказательство
       По аксиомам «неравенство треугольника» и «симметрия
метрики» имеем:
             (х,z)  (х,у) + (z,у),    (z,у)  (х,у) + (х,z).
       Из первого неравенства следует (х,z)  (z,у)  (х,у), из
второго – (z,у) (х,z)  (х,у). Нужное неравенство следует из


                                    37

Страницы