Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

40
Замечание. Если на одном и том же множестве заданы
две метрики, то имеем два разных метрических пространства.
Примеры метрических пространств
1. Множество действительных чисел R.
Метрика определяется по правилу (х,у) =х
у. Первые
две аксиомы метрики очевидны, неравенство треугольника сле-
дует из неравенства а+b a+b при заменах a = х
z, b = z
y.
2. Конечномерные метрические пространства R
p
n
.
Рассмотрим множество векторов вида х = (х
1
,х
2
,…, х
n
) c
действительными компонентами. Пусть число р
1. Определим
метрику формулой
p
p
n
i
i
i
p
y
x
yx
1
1
)(),(
.
Первые две аксиомы метрики очевидны, неравенство треуголь-
ника следует из неравенства Минковского.
На множестве n-мерных векторов можно определить метрику
формулой:
y
x
yx
i
i
max),(
.
Проверьте это самостоятельно.
3. Пространство непрерывных функций С на отрезке
[0,1], которое обозначается С[0,1].
Определим метрику:
)()(
max),(
tt
y
x
yx
i
t
Функция
)()( tytx
непрерывна на отрезке [0,1] и достигает максимального значе-
ния. Покажем выполнение всех аксиом метрики.
а) (х,у) 0. Пусть (х,у) = 0. Это означает, что
)()( tytx
= 0
при любом t [0,1], т.е функции совпадают (х = у).
б) Симметричность следует из того, что
)()()()( txtytytx
,
но тогда равны и максимумы этих функций. 
       Замечание. Если на одном и том же множестве заданы
две метрики, то имеем два разных метрических пространства.
       Примеры метрических пространств
       1. Множество действительных чисел R.
       Метрика определяется по правилу (х,у) =ху. Первые
две аксиомы метрики очевидны, неравенство треугольника сле-
дует из неравенства а+b a+b при заменах a = хz, b = z
y.
       2. Конечномерные метрические пространства Rpn .
       Рассмотрим множество векторов вида х = (х1,х2,…, хn) c
действительными компонентами. Пусть число р1. Определим
метрику формулой
                                                                p    1

                       
                                           n
                               ( x, y )  (     xi    y           )p .
                           p                                i
                                          i 1

Первые две аксиомы метрики очевидны, неравенство треуголь-
ника следует из неравенства Минковского.
На множестве n-мерных векторов можно определить метрику
формулой:
                        ( x, y) max x y
                                         
                                           .
                                                        i                i


Проверьте это самостоятельно.
         3. Пространство непрерывных функций С на отрезке
[0,1], которое обозначается С[0,1].
         Определим метрику:
                       ( x, y)  max x (t )  y (t )                i
                                   t

Функция
                                    x(t )  y(t )
непрерывна на отрезке [0,1] и достигает максимального значе-
ния. Покажем выполнение всех аксиом метрики.
       а) (х,у)  0. Пусть (х,у) = 0. Это означает, что
                               x(t )  y(t )
                                             =0
       при любом t [0,1], т.е функции совпадают (х = у).
       б) Симметричность следует из того, что
                        x(t )  y(t )  y(t )  x(t ) ,
       но тогда равны и максимумы этих функций.
                                         40

Страницы