Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

42
с) Для доказательства неравенства треугольника, используя
свойство модуля, запишем неравенство, справедливое для лю-
бой точки z(t) отрезка:
)()()()()()( tytztztxtytx
.
По определению метрики , как максимального значения, по-
лучаем неравенство
);();()()( yzzxtytx
поскольку это неравенство справедливо при всех значениях ар-
гумента, то (х,у) (х,z) + (z,y), что и требовалось доказать.
4. Пространство сходящихся последовательностей
Элементами этого пространства являются сходящиеся
последовательности х = (х
1
,х
2
,…,х
n
,…) с метрикой
ii
i
yx sup
.
Проверьте это самостоятельно.
5. Пространства непрерывных функций L
p
с
.
Рассмотрим множество непрерывных функций, опреде-
ленных на отрезке [0,1]. Метрику между функциями определим
формулой
p
p
dttytx
/1
1
0
)()(
, где р 1.
Выполнимость аксиом метрики следуют из свойств интеграла и
неравенства Минковского.
6. Дискретные метрические пространства. Рассмотрим
произвольное множество и определим на нем метрику таким
образом, что (x,y) = 1, если x
y. В этом пространстве шар
В(х, ) = В(х,1) (1 > > 0) содержит только центр шара.
2.2. Топологические понятия
в метрических пространствах
Все точки метрического пространства подразделяют на
три непересекающихся класса: внутренние, внешние, гранич-
ные. Для определения каждого из перечисленных видов точек
необ-
с) Для доказательства неравенства треугольника, используя
свойство модуля, запишем неравенство, справедливое для лю-
бой точки z(t) отрезка:
                x(t )  y(t )  x(t )  z (t )  z (t )  y(t ) .
По определению метрики , как максимального значения, по-
лучаем неравенство
                     x(t )  y(t )   ( x; z )   ( z; y )
поскольку это неравенство справедливо при всех значениях ар-
гумента, то (х,у)  (х,z) + (z,y), что и требовалось доказать.
       4. Пространство сходящихся последовательностей
       Элементами этого пространства являются сходящиеся
последовательности х = (х1,х2,…,хn,…) с метрикой
                                sup xi  yi
                              i       .
      Проверьте это самостоятельно.
      5. Пространства непрерывных функций Lpс.
      Рассмотрим множество непрерывных функций, опреде-
ленных на отрезке [0,1]. Метрику между функциями определим
формулой
                                           1/ p
                       1 x(t )  y (t ) p dt 
                         
                       0                        , где р  1.
Выполнимость аксиом метрики следуют из свойств интеграла и
неравенства Минковского.
         6. Дискретные метрические пространства. Рассмотрим
произвольное множество и определим на нем метрику таким
образом, что (x,y) = 1, если x  y. В этом пространстве шар
В(х, ) = В(х,1) (1 >  > 0) содержит только центр шара.


       2.2. Топологические понятия
       в метрических пространствах

      Все точки метрического пространства подразделяют на
три непересекающихся класса: внутренние, внешние, гранич-
ные. Для определения каждого из перечисленных видов точек
необ-
                                      42

Страницы