Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 43 стр.

ходимо ввести понятие окрестности точки метрического про-
странства.
        Определение 19
        Открытой (замкнутой) окрестностью точки а метри-
ческого пространства Е называют множество точек х метриче-
ского пространства Е, которые             удовлетворяют условию:
 ( ; )<      ( ( ; )≤ ), при этом -называют радиусом окрестно-
сти. Окрестность точки а обозначают: ( ).
                         ( ) = { / ∈ и ( ; )< }
        Свойства окрестностей
1. Точка а метрического пространства Е принадлежит любой
своей окрестности.
2. Если точка а имеет две окрестности, то одна из них является
подмножеством другой последовательности.
3. Если ∈ ( ) , то найдется такое действительное положи-
тельное число >0, что         ( )⊂ ( ).
4. Если две точки а и b метрического пространства Е имеют
окрестности ( ) и ( ) соответственно, то возможно только
три случая расположения окрестностей в метрическом про-
странстве Е, каждый из которых удовлетворяют соответствую-
щим условиям:
а) окрестности не имеют общих точек, если метрика между
точками больше суммы радиусов их окрестностей:
                   ( ; )> + , то      ( )∩ ( )=∅;
в) окрестности имеют одну единственную общую точку, если
метрика между точками равна сумме радиусов их окрестностей:
         ( ; )= + то       ( )∩ ( )= с и с – единственная;
с) окрестности имеют общих точек, если метрика между точка-
ми меньше суммы радиусов их окрестностей:
                 ( ; )< + , то есть     ( )∩ ( )≠∅.
        Докажем одно из перечисленных свойств окрестностей.
Доказательство остальных свойств окрестностей предлага-
ем провести студентам самостоятельно.
        Д о к а з а т е л ь с т в о первого свойства
        Пусть x=a, согласно определению окрестности вычис-
лим метрику ( ; ). Получим ( ; )=0< . Откуда следует
вывод о том, что x=a ∈ ( ).


                                  44