Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

54
а
NM
\(МN). Найдется последовательность точек
х
n
МN, сходящаяся к точке а. Так как множеств всего два, а
членов последовательности бесконечное число, то по крайней
мере одно из них (например, М) содержит бесконечное число
членов последовательности, то есть существует такая подпосле-
довательность, что
M
x
k
n
и
a
x
k
n
.
Это означает, что а
M
. Таким образом,
NMNM
.
4. Справедливо утверждение:
MM
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Из первого свойства следует
MM
. Пусть а
M
. По-
кажем, что а
. Докажем от противного, пусть а
M
. Тогда в
любой окрестности точки а есть точки множества
M
, а в окре-
стностях последних есть точки М. Более точно. Пусть r > 0.
В шаре B(a,r/2) есть точка b a множества
M
. В шаре
B(b,(a,b)/2) есть точка с
М. Поскольку по обратному неравен-
ству треугольника
(a,с)  (a,b) (b,с) (a,b) (a,b)/2 = (a,b)/2 > 0, то a
с.
В то же время (a,с) (a,b) + (b,с) < 3(a,b)/2 < r.
Таким образом, поскольку число r произвольное, то в
любой окрестности точки a есть точки множества М, отличные
от a, т.е. а
. Доказанное противоречие завершает доказа-
тельство.
5. Замыкание пустого множества пустое.
Это утверждение из общего определения не следует, од-
нако является очевидным.
Определение 34 
а M  N \(МN). Найдется последовательность точек
хn  МN, сходящаяся к точке а. Так как множеств всего два, а
членов последовательности бесконечное число, то по крайней
мере одно из них (например, М) содержит бесконечное число
членов последовательности, то есть существует такая подпосле-
довательность, что
                           x   nk
                                    M и    x   nk
                                                     a.
Это означает, что а  M . Таким образом,

                               M N  M N.

        4. Справедливо утверждение:         M M.

        Доказательство
        Из первого свойства следует M  M . Пусть а M . По-
кажем, что а M . Докажем от противного, пусть а M . Тогда в
любой окрестности точки а есть точки множества M , а в окре-
стностях последних есть точки М. Более точно. Пусть r > 0.
В шаре B(a,r/2) есть точка b  a множества M . В шаре
B(b,(a,b)/2) есть точка сМ. Поскольку по обратному неравен-
ству треугольника

(a,с)  (a,b) (b,с)  (a,b)  (a,b)/2 = (a,b)/2 > 0, то a  с.

В то же время (a,с)  (a,b) + (b,с) < 3(a,b)/2 < r.
        Таким образом, поскольку число r произвольное, то в
любой окрестности точки a есть точки множества М, отличные
от a, т.е. а  M . Доказанное противоречие завершает доказа-
тельство.
        5. Замыкание пустого множества пустое.
        Это утверждение из общего определения не следует, од-
нако является очевидным.
        Определение 34


                                       54

Страницы