Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

52
О(Е) = Е\ Е
Определение 29
Множество, состоящее только из изолированных точек
называют изолированным.
Примеры
а) конечное множество есть множество изолированное;
б) множество натуральных чисел – множество изолиро-
ванное.
Определение 30
Множество всех предельных точек множества Е назы-
вают его производным множеством и обозначают Е’.
Определение 31
Множество всех точек прикосновения метрического
пространства Е называют замыканием Е и обозначают Е’.
Определение 32
Множество всех точек прикосновения множества Е на-
зывают замыканием множества.
Определение 33
Замыканием множества Е называется объединение Е с
множеством его предельных точек Е’.
Свойства замыкания множеств
1. Справедливо утверждение: М
M
.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует непосредственно из опре-
деления замыкания.
2. Если М
N, то
NM
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Если
Mа
, a М, то в любой окрестности a есть точки
множества М. Они же являются точками N. Поэтому a
N
. Для
точек из М это очевидно по определению.
3. Справедливо утверждение:
NMNM
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Поскольку ММN, NМN, то
NMM
,
NMN
по свойству 2, откуда
NMNM
.
Докажем обратное включение. Рассмотрим точку
а
. Если аМN, то, очевидно, что а
NM
. Пусть
теперь 
                             О(Е) = Е\ Е
        Определение 29
        Множество, состоящее только из изолированных точек
называют изолированным.
        Примеры
        а) конечное множество есть множество изолированное;
        б) множество натуральных чисел – множество изолиро-
ванное.
        Определение 30
        Множество всех предельных точек множества Е назы-
вают его производным множеством и обозначают Е’.
        Определение 31
        Множество всех точек прикосновения метрического
пространства Е называют замыканием Е и обозначают Е’.
        Определение 32
        Множество всех точек прикосновения множества Е на-
зывают замыканием множества.
        Определение 33
        Замыканием множества Е называется объединение Е с
множеством его предельных точек Е’.
        Свойства замыкания множеств
        1. Справедливо утверждение: М M .
   Д о к а з а т е л ь с т в о следует непосредственно из опре-
деления замыкания.
        2. Если М  N, то M  N .
        Доказательство
        Если а  M , a М, то в любой окрестности a есть точки
множества М. Они же являются точками N. Поэтому a N . Для
точек из М это очевидно по определению.
        3. Справедливо утверждение: M  N  M  N .
        Доказательство
        Поскольку ММN,            NМN, то M  M  N ,
N  M  N по свойству 2, откуда M  N  M  N .
        Докажем обратное включение. Рассмотрим точку
а M  N . Если аМN, то, очевидно, что а M  N . Пусть
теперь

                                 52

Страницы