Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 49 стр.

       Определение 26
       Точку a называют предельной точкой множества Е, если
в любой окрестности точки а содержится хотя бы одна точка из
Е, отличная от а.
       В любой окрестности а есть точки множества М, отлич-
ные от а. Предельная точка может, как принадлежать, так и не
принадлежать множеству.
       Задача
       Докажите, что для того, чтобы а была предельной точ-
кой множества Е, необходимо и достаточно, чтобы в любой ок-
рестности точки а существовало бесконечно много точек из Е.
       Д о к а з а т е л ь с т в о предлагаем читателю провес-
ти самостоятельно.
       Задача
       Докажите, что если предельная точка а не принадлежит
множеству М, то найдется последовательность точек {хn }M,
сходящаяся к а в этом метрическом пространстве.
       Доказательство
       Для доказательства достаточно взять открытые шары в
этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, при-
надлежащую М. Верно и обратное, если для а есть такая после-
довательность, то точка является предельной.
       Предельные точки могут быть в одних определенных
случаях внутренними, в других – граничными.

        Рассмотрим еще ряд определений, относящихся к вопро-
сам топологии в метрическом пространстве. Точки, удовлетво-
ряющие конкретным условиям, образуют множества, свойства
которых помогают решить некоторые важные математические
задачи.
        Определение 27
        Множество всех граничных точек метрического про-
странства Е называют граничным множеством (границей Е) и
обозначают Е.
        Определение 28
        Множество всех внутренних точек метрического про-
странства Е называют его ядром Е и обозначают О(Е). То есть:


                                 50