Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 47 стр.

        В метрическом пространстве есть и другие виды точек,
привлекающие внимание - это изолированные точки, точки при-
косновения, предельные точки. Введем их определения.
        Определение 23
        Точку а называют изолированной точкой метрического
пространства Е только в случае, если найдется такая ее окрест-
ность, в которой не содержится ни одной точки рассматривае-
мого метрического пространства Е, кроме самой точки a. То
есть:
         (∃ >0 : ( )∩ ={ })→( − изолированная точка метри-
ческого пространства Е)
        Определение 24
        Точку а называют точкой прикосновения метрического
пространства Е только в случае, если в любой ее окрестности
имеется хотя бы одна точка из рассматриваемого метрического
пространства Е. То есть:
         (∀ >0 : ( )∩ ≠∅)→( − точка прикосновения метриче-
ского пространства Е)
        Принимая во внимание перечисленные выше определе-
ния, остается ответить на вопрос: «К какому классу точек (внут-
ренние, внешние, граничные) относятся изолированная точка и
точка прикосновения?» Ответ вытекает из сопоставления опре-
делений и логических выводов из него. Любая окрестность дан-
ных точек содержит хотя бы одну точку принадлежащую про-
странству Е и хотя бы одну точку ему не принадлежащую, а
следовательно данные точки относятся к классу граничных.
        Замечание. У любого множества на плоскости все его
изолированные точки являются граничными.
        Понятие предельной точки подмножества действитель-
ных чисел рассматривалось в курсе математического анализа. В
общем случае это понятие имеет следующий вид.
        Определение 25
        Точку а называют предельной точкой Е, если в любой
окрестности а есть точки множества Е\{a}, где М - метрическое
пространство, ЕМ, аЕ.




                                 48