Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 56 стр.

       2.3. Открытые и замкнутые множества

       Рассмотрим понятие «замкнутые множества» и свойства
замкнутых множеств. Пусть Е точечное множество метрическо-
го пространства.
       Определение 35
       Множество называют замкнутым, если оно содержит
все свои предельные точки, то есть если Е'  Е, то множество Е
называют замкнутым.
       Проиллюстрируем данные определения примерами.
       Примеры.
        1 1 1 
       1, , ,... ,...
1. Е =  2 3 п  , Е' = {0}. Множество не замкнуто.
2. Е = (а,b), Е' = [a,b]. Множество не замкнуто.
3. Е = [а,b], Е' = [a,b]. Множество замкнуто.
        1 1 1          
       1, , ,... ,...,0
4. Е =  2 3 п           , Е' = {0}. Множество замкнуто.
5. Е = R (множество всех рациональных чисел), Е' = Z, множе-
ство не замкнуто.
6. Е – конечное множество, Е' =0, т.е. конечное множество
замкнуто.
         Свойства замкнутого множества
         1. Производное множество Е' любого точечного мно-
жества Е замкнуто.
         Доказательство
         Теорема очевидна, если Е' пусто. Пусть Е' не пусто и х0
есть предельная точка Е'. Рассмотрим произвольный интервал
(α,β), содержащей точку х0. По определению предельной точки,
в этом интервале найдётся точка z∈ Е'. Значит интервал (α,β)
есть интервал, охватывающий предельную точку исходного
множества Е, а потому он содержит бесконечное множество
точек Е.
         Итак, всякий интервал, содержащий точку х0 содержит
бесконечное множество точек Е, так что точка х0 есть предель-
ная


                                   57