ВУЗ:
Составители:
59
точка Е. То есть х
0
Е'. Значит, множество Е' содержит все
свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.
2. Замыкание
Е
любого множества Е замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Действительно,
)(
Е
= (Е
∪
Е') =Е'
∪
(Е')'
Е'
∪
Е' =Е'
Е'.
3. Для того, чтобы множество Е было замкнутым, не-
обходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замы-
канием:
ЕЕ
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Достаточность этого условия вытекает из предыдущего
свойства. Обратно, пусть множество Е замкнуто, тогда
ЕЕЕЕЕ
, откуда и следует, что
ЕЕ
.
4. Объединение конечного числа замкнутых множеств
есть множество замкнутое.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств
Ф = F
1
∪
F
2
.
В силу выше перечисленных свойств, имеем Ф’=F’
1
∪
F’
2
,
но, так как
1
'
1
FF
,
2
'
2
FF
, то Ф'
Ф, откуда и следует форму-
лировка теоремы.
Общий случай доказывается способом математической
индукции.
5. Пересечение любого множества замкнутых мно-
жеств есть множество замкнутое.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть замкнутые множества
F
отмечены для отличия
друг от друга значком
, принимающим какое-нибудь множест-
во значений, и
FФ
их пересечение.
Тогда
FФ
при любом
, откуда следует, что
FФ
и тем более
FФ
. Так как это верно при любом
, то
точка Е. То есть х0 Е'. Значит, множество Е' содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто. 2. Замыкание Е любого множества Е замкнуто. Доказательство Действительно, ( Е ) = (Е∪Е') =Е'∪(Е')' Е'∪Е' =Е' Е'. 3. Для того, чтобы множество Е было замкнутым, не- обходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замы- канием: Е Е . Доказательство Достаточность этого условия вытекает из предыдущего свойства. Обратно, пусть множество Е замкнуто, тогда Е Е Е Е Е , откуда и следует, что Е Е . 4. Объединение конечного числа замкнутых множеств есть множество замкнутое. Доказательство Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств Ф = F1∪ F2. В силу выше перечисленных свойств, имеем Ф’=F’1∪F’2, но, так как F1' F1 , F2' F2 , то Ф' Ф, откуда и следует форму- лировка теоремы. Общий случай доказывается способом математической индукции. 5. Пересечение любого множества замкнутых мно- жеств есть множество замкнутое. Доказательство Пусть замкнутые множества F отмечены для отличия друг от друга значком , принимающим какое-нибудь множест- во значений, и Ф F их пересечение. Тогда Ф F при любом , откуда следует, что Ф F и тем более Ф F . Так как это верно при любом , то 59
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »