Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 58 стр.

UptoLike

Составители: 

59
точка Е. То есть х
0
Е'. Значит, множество Е' содержит все
свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.
2. Замыкание
Е
любого множества Е замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Действительно,
)(
Е
= (Е
Е') =Е'
(Е')'
Е'
Е' =Е'
Е'.
3. Для того, чтобы множество Е было замкнутым, не-
обходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замы-
канием:
ЕЕ
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Достаточность этого условия вытекает из предыдущего
свойства. Обратно, пусть множество Е замкнуто, тогда
ЕЕЕЕЕ
, откуда и следует, что
ЕЕ
.
4. Объединение конечного числа замкнутых множеств
есть множество замкнутое.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств
Ф = F
1
F
2
.
В силу выше перечисленных свойств, имеем Ф’=F
1
F
2
,
но, так как
1
'
1
FF
,
, то Ф'
Ф, откуда и следует форму-
лировка теоремы.
Общий случай доказывается способом математической
индукции.
5. Пересечение любого множества замкнутых мно-
жеств есть множество замкнутое.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть замкнутые множества
F
отмечены для отличия
друг от друга значком
, принимающим какое-нибудь множест-
во значений, и
FФ
их пересечение.
Тогда
FФ
при любом
, откуда следует, что
FФ
и тем более
FФ
. Так как это верно при любом
, то
точка Е. То есть х0  Е'. Значит, множество Е' содержит все
свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.
        2. Замыкание Е любого множества Е замкнуто.
        Доказательство
        Действительно,
                  ( Е ) = (Е∪Е') =Е'∪(Е')'  Е'∪Е' =Е'  Е'.
        3. Для того, чтобы множество Е было замкнутым, не-
обходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замы-
канием: Е  Е .
        Доказательство
        Достаточность этого условия вытекает из предыдущего
свойства. Обратно, пусть множество Е замкнуто, тогда
Е  Е  Е   Е  Е , откуда и следует, что Е  Е .
        4. Объединение конечного числа замкнутых множеств
есть множество замкнутое.
        Доказательство
        Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств
                                   Ф = F1∪ F2.
        В силу выше перечисленных свойств, имеем Ф’=F’1∪F’2,
но, так как F1'  F1 , F2'  F2 , то Ф'  Ф, откуда и следует форму-
лировка теоремы.
        Общий случай доказывается способом математической
индукции.
        5. Пересечение любого множества замкнутых мно-
жеств есть множество замкнутое.
        Доказательство
        Пусть замкнутые множества F отмечены для отличия
друг от друга значком  , принимающим какое-нибудь множест-
во значений, и Ф   F их пересечение.
                     

       Тогда Ф  F при любом  , откуда следует, что Ф  F
и тем более Ф  F . Так как это верно при любом  , то




                                    59