Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 60 стр.

           Ф    F т.е. Ф'  Ф, что и требовалось доказать.
                

           6. Пусть F замкнутое множество и
                                  х1 , х2 , х3 , …
           последовательность точек F. Если lim xn = х0 , то
х0  F .
       Доказательство
       В самом деле, если рассматриваемая последовательность
содержит бесконечное множество различных точек, то х0 есть
предельная точка F и х0  F , если же в данной последователь-
ности лишь конечное число различных точек, то, как легко по-
нять, все члены последовательности, начиная с некоторого,
совпадают с х0 и х0  F .

      Рассмотрим понятие «открытое множество» и свой-
ства открытых множеств.
      Определение 36
      Множество Е называют открытым, если все его точки
являются внутренними.
      Проиллюстрируем на примерах.
      1. Всякий интервал (а, b) есть открытое множество.
      2. Множество Z всех вещественных чисел открыто.
      3. Пустое множество 0 открыто.
      4. Сегмент [ а, b ] не есть открытое множество, ибо его
концы не являются внутренними точками.
      Свойства открытых множеств
      1. Объединение любого множества открытых мно-
жеств есть множество открытое.
      Доказательство
      Пусть S – объединение открытых множеств G . Пусть
x0  S тогда x0  G при некотором  0 . Так как G есть откры-
тое множество, то существует такой интервал  ,   , что
x0   ,    G , но тогда и подавно x0   ,    S , так что



                                       61