Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

63
0
x
есть внутренняя точка S. Поскольку
0
x
есть произвольная
точка S.
Следствие. Любое множество, представимое в форме
суммы интегралов, открыто.
2. Пересечение конечного числа открытых множеств
открыто.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
n
k
k
GP
1
,
где все G
k
открыты. Если Р пусто, то утверждение очевидно.
Допустим, что Р не пусто, и пусть
Px
0
.
Тогда
k
Gx
0
, (k = 1, 2, …, п)
и для каждого k найдётся интервал
kk
,
такой, что
kkk
Gх
,
0
.
Пусть
n
,...,,max
21
и
n
,...,,min
21
очевидно
,
то есть
0
x
есть внутренняя точка Р.
Замечание. Пересечение бесконечного множества от-
крытых множеств может не быть открытым множеством.
Итак, если
nn
G
n
1
,
1
(п = 1, 2, 3, …),
то все множества
n
G
открыты, но их пересечение
0
1
n
n
G
не является открытым множеством. 
x 0 есть внутренняя точка S. Поскольку x 0 есть произвольная
точка S.
        Следствие. Любое множество, представимое в форме
суммы интегралов, открыто.
        2. Пересечение конечного числа открытых множеств
открыто.
        Доказательство
        Пусть
                                              n
                                      P   Gk ,
                                             k 1
где все Gk открыты. Если Р пусто, то утверждение очевидно.
Допустим, что Р не пусто, и пусть x0  P .
       Тогда
                      x 0  Gk ,  (k = 1, 2, …, п)
и для каждого k найдётся интервал  k ,  k  такой, что
                               х0   k ,  k   Gk .
       Пусть
                 max 1 , 2 ,..., n  и   min 1 ,  2 ,...,  n 
очевидно
                                 х0   ,    Р
                                                      ,
то есть x 0 есть внутренняя точка Р.
        Замечание. Пересечение бесконечного множества от-
крытых множеств может не быть открытым множеством.
        Итак, если
                           1 1
                     Gn    , 
                           n n    (п = 1, 2, 3, …),
то все множества Gn открыты, но их пересечение
                                      

                                      G  0
                                      n 1
                                             n


не является открытым множеством.




                                             63

Страницы