Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

65
Рассмотрим связь между открытым и замкнутым
множествами. Пусть Е и S два точечных множества.
Определение 37
Если
SE
, то множество S\E называют дополнением
множества Е до множества S и обозначается так: С
S
E.
В частности, множество С
Z
E, где
 ,Z
, называют
просто дополнением множества Е и обозначается через СЕ.
Свойства дополнения множества
1. Если множество G открыто, то его дополнение CG
замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
k
Gx
0
, тогда существует такой интервал
,
,
что
Gx
,
0
.
Данный промежуток вовсе не содержит точек CG, сле-
довательно, х, не является предельной точкой множества CG, а
значит точка, являющаяся предельной точкой множества CG, не
может принадлежать G. Отсюда следует, что CG содержит все
свои предельные точки.
2. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF
открыто.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
CFx
0
. Тогда точка
0
x
не является предельной
точкой множества F и, следовательно, существует интервал
,
, содержащий точку
0
x
и не содержащий ни одной, отлич-
ной от
0
x
точки F. Но так как и
0
x
не входит в F, то в
,
во-
обще нет точек F, так что
CF
,
и
0
x
есть внутренняя точ-
ка CF.
3. Если G открытое множество, а [a, b] – содержащий
его сегмент, то множество [a, b] \ G замкнуто и что если F
замкнутое множество, а (a, b) – содержащий его интервал, то
множество (a, b) \ F открыто. 
     Рассмотрим связь между открытым и замкнутым
множествами. Пусть Е и S два точечных множества.
     Определение 37
     Если E  S , то множество S\E называют дополнением
множества Е до множества S и обозначается так: СSE.

           В частности, множество СZE, где Z   , , называют
просто дополнением множества Е и обозначается через СЕ.
           Свойства дополнения множества
           1. Если множество G открыто, то его дополнение CG
замкнуто.
           Доказательство
           Пусть x0  Gk , тогда существует такой интервал  ,   ,
что
                                 x0   ,    G .
           Данный промежуток вовсе не содержит точек CG, сле-
довательно, х, не является предельной точкой множества CG, а
значит точка, являющаяся предельной точкой множества CG, не
может принадлежать G. Отсюда следует, что CG содержит все
свои предельные точки.
           2. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF
открыто.
           Доказательство
           Пусть x0  CF . Тогда точка x 0 не является предельной
точкой множества F и, следовательно, существует интервал
 ,   , содержащий точку x 0 и не содержащий ни одной, отлич-
ной от x 0 точки F. Но так как и x 0 не входит в F, то в  ,   во-
обще нет точек F, так что  ,    CF и x 0 есть внутренняя точ-
ка CF.
       3. Если G открытое множество, а [a, b] – содержащий
его сегмент, то множество [a, b] \ G замкнуто и что если F
замкнутое множество, а (a, b) – содержащий его интервал, то
множество (a, b) \ F открыто.




                                     65

Страницы