Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

67
Д о к а з а т е л ь с т в о
Эти утверждения следуют из очевидных тождеств
[a, b] \ G = [a, b]∩ CG. (a, b) \ F = (a, b) ∩CF.
Пусть F замкнуто и F [a, b], тогда множество [a, b] \ F не явля-
ется, открытым. Пусть, например, F =[0, 1] и [a, b] = [0, 2], тогда
[a, b] \ F = (1, 2].
4. Если S есть наименьший отрезок, содержащий огра-
ниченное замкнутое множество F, то множество C
S
F = [a, b] \
F открыто.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть Е непустое ограниченное множество и a = inf E,
b = sup E. Отрезок S = [a, b] называют наименьшим отрезком,
содержащим Е. Поэтому достаточно убедиться в справедливо-
сти тождества
C
S
F = (a, b) ∩F.
Пусть
FСх
S
0
.
Значит
],[
0
bax
,
Fx
0
.
Но поскольку
Fx
0
,
то
ax
0
bx
0
(ибо a и b входят в F). Значит
bax ,
0
. Кроме того,
0
x
, очевид-
но, входит в CF, так что С
S
F
⊂
(a;b)∩CF. Обратное же включение
очевидно.
2.4. Связные и несвязные метрические пространства
Определение 38
Метрическое пространство Е называют несвязным, если
существует непрерывное отображение F этого пространства на 
     Доказательство
         Эти утверждения следуют из очевидных тождеств
               [a, b] \ G = [a, b]∩ CG. (a, b) \ F = (a, b) ∩CF.
Пусть F замкнуто и F [a, b], тогда множество [a, b] \ F не явля-
ется, открытым. Пусть, например, F =[0, 1] и [a, b] = [0, 2], тогда
[a, b] \ F = (1, 2].
         4. Если S есть наименьший отрезок, содержащий огра-
ниченное замкнутое множество F, то множество CSF = [a, b] \
F открыто.
         Доказательство
         Пусть Е непустое ограниченное множество и a = inf E,
b = sup E. Отрезок S = [a, b] называют наименьшим отрезком,
содержащим Е. Поэтому достаточно убедиться в справедливо-
сти тождества
                                 CSF = (a, b) ∩F.
Пусть
                                 х0  С S F .
Значит
                         x0  [a, b] ,        x0  F .

Но поскольку
                                  x0  F
                                              ,
то
                            x0  a            x0  b
(ибо a и b входят в F). Значит x0  a, b . Кроме того, x 0 , очевид-
но, входит в CF, так что СSF⊂(a;b)∩CF. Обратное же включение
очевидно.


         2.4. Связные и несвязные метрические пространства

      Определение 38
      Метрическое пространство Е называют несвязным, если
существует непрерывное отображение F этого пространства на


                                         67

Страницы