Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

69
двухточечное пространство {0;1} и связным в противном слу-
чае.
1;0: EFнесвязноЕ
Определение 39
Метрическое пространство называется связным, если его
нельзя представить в виде объединения двух непустых непере-
секающихся замкнутых множеств и несвязным в противном
случае.
(
ВАВАЕнесвязноЕ (
Ø
А
Ø
В
Ø))
Теорема 16
Любой числовой промежуток связен.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Докажем методом «от противного». Пусть числовой
промежуток Е несвязен, тогда существует F -непрерывное ото-
бражение Е в двухточечное пространство {0;1}. Пусть F(х)=1,
F(у)=0;(х,у
Е). Так как отрезок [х;у]
Е, то отображение F не-
прерывно на этом отрезке. По теореме о промежуточном значе-
нии числовой функции, непрерывной на отрезке, найдется такая
точка
[х;у], что F(
)=
2
1
. Так как
Е, то получили проти-
воречие с тем, что отображение F на Е принимает лишь значе-
ния 0 и 1. Значит, предположение о несвязности Е ложно.
Теорема 17
Каждая связная часть Е числовой прямой R. вместе с
любыми двумя точками х и у содержит весь отрезок [х;у].
)];([)()()()( EyxEyExсвязноERЕ
Д о к а з а т е л ь с т в о
Докажем методом «от противного». Пусть существует
точка
[х;у] и
Е. Пусть Е
1
=Е
;
и Е
2
=
Е
. Очевидно, что Е
1
Ø и Е
2
Ø, причем Е
1,
Е
2
- от-
крыты в Е. Поскольку
Е, то Е
1
Е
2
;)\( ERЕ
кроме того Е
1
Е
2
= Ø. Итак, пространство Е удалось пред-
ставить в виде двух непересекающихся непустых открытых
множеств, значит Е несвязно, что противоречит усло- 
двухточечное пространство {0;1} и связным в противном слу-
чае.
                   Е  несвязно  F : E  0;1
        Определение 39
        Метрическое пространство называется связным, если его
нельзя представить в виде объединения двух непустых непере-
секающихся замкнутых множеств и несвязным в противном
случае.
( Е  несвязно   Е  А  В  ( А  В  Ø  А  Ø  В  Ø))
        Теорема 16
        Любой числовой промежуток связен.
        Доказательство
        Докажем методом «от противного». Пусть числовой
промежуток Е несвязен, тогда существует F -непрерывное ото-
бражение Е в двухточечное пространство {0;1}. Пусть F(х)=1,
F(у)=0;(х,уЕ). Так как отрезок [х;у]  Е, то отображение F не-
прерывно на этом отрезке. По теореме о промежуточном значе-
нии числовой функции, непрерывной на отрезке, найдется такая
точка  [х;у], что F(  )= 12 . Так как   Е, то получили проти-
воречие с тем, что отображение F на Е принимает лишь значе-
ния 0 и 1. Значит, предположение о несвязности Е ложно.
        Теорема 17
        Каждая связная часть Е числовой прямой R. вместе с
любыми двумя точками х и у содержит весь отрезок [х;у].
       (Е  R)  (E  связно)  ( x  E)  ( y  E)  ([ x; y]  E)
    Доказательство
      Докажем методом «от противного». Пусть существует
точка   [х;у] и   Е. Пусть Е1 =Е   ;  и Е2 =
Е   ; . Очевидно, что Е1  Ø и Е2  Ø, причем Е1, Е2- от-
крыты в Е. Поскольку
                    Е, то Е1  Е2  Е  ( R \  )  E;
кроме того Е1  Е2 = Ø. Итак, пространство Е удалось пред-
ставить в виде двух непересекающихся непустых открытых
множеств, значит Е несвязно, что противоречит усло-


                                   69

Страницы