Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 70 стр.

вию теоремы. Полученное противоречие и доказывает справед-
ливость теоремы.
        Теорема 18
        Образ связного пространства Е при непрерывном ото-
бражении F является связным.
(F : E  P)  (E  связно)  F  непрерывное  (Р  связно)
     Доказательство
        Докажем методом «от противного». Пусть F(E) = P не-
связно. Это означает, что существует отображение G простран-
ства Р на {0;1}. Но тогда отображение G(F(E)) было бы непре-
рывным отображением пространства Е на {0;1}, что противоре-
чит связности Е.
        Теорема 19
        Если числовая функция f непрерывная на связном про-
странстве Е, принимает на Е значения х и у (х<у), то она при-
нимает на Е и любое промежуточное значение  (х<  <у).
        Доказательство
        Пусть f(E)=P, PR. Так как Е –связно, то связно и Р (сле-
дует из предыдущей теоремы). Но тогда, поскольку х Е и уЕ,
то и весь отрезок [х;у] Е. Значит для любого  [х;у] найдется
такая точка  Р, что f(  )=  .
        Примеры
        1. Связные множества: ковер Серпинского, любое одно-
точечное множество метрического пространства.
        3. Несвязное множество: множество точек фигуры, со-
стоящей из двух непересекающихся кругов.


    2.5. Совершенное множество.
    Канторово совершенное множество

        Определение 40
        Если множество замкнуто и не содержит изолированных
точек, то его называют совершенным.




                                  71